의예과 2번

$\displaystyle p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$($\displaystyle a_i,i=0,1,2,3$는 정수들)라고 하면 임의의 두 수 $\displaystyle r,s$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}p(r)-p(s)&=a_3r^3+a_2r^2+a_1r+a_0-a_3s^3-a_2s^2-a_1s-a_0\\&=(r-s)(a_3(r^2+rs+s^2)+a_2(r+s)+a_1)=(r-s)q(r,s)\end{aligned}$로 인수분해할 수 있다. 그러므로 좌변과 우변의 항들이 모두 정수가 되는 다음과 같은 네 개의 식① $\displaystyle p(a)-p(b)=(a-b)q_1$,② $\displaystyle p(b)-p(c)=(b-c)q_2$,③ $\displaystyle p(c)-p(d)=(c-d)q_3$,④ $\displaystyle p(d)-p(a)=(d-a)q_4$를 얻게 된다.

(나)에 의해 좌변의 절대값이 모두 소수이어야 하고 $\displaystyle a,b,c,d$가 서로의 차가 2이상이므로 $\displaystyle |q_1|=|q_2|=|q_3|=|q_4|=1$이 될 수밖에 없다.

$\displaystyle p(a)-p(b)=a-b$ 라고 가정해도 좋다. 왜냐하면 $\displaystyle p(a)-p(b)=b-a$인 경우 $\displaystyle -p(x)$를 생각하면 된다.네 수 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta$의 부호가 각각 $\displaystyle +,+,+,-$인 경우를 $\displaystyle (\alpha,\beta,\gamma,\delta)=(+,+,+,-)$ 등으로 표현하기로 하자.조건 (가)에 의해 (1), (2), (3), (4)의 네 가지 경우가 성립한다.

(1) $\displaystyle (p(a)-p(b),p(b)-p(c),p(c)-p(d),p(d)-p(a))=(+,+,+,-)$$\displaystyle (a-b,b-c,c-d,d-a)=(+,+,+,-)$이므로 다음과 같은 식을 얻게 된다.① $\displaystyle p(a)-p(b)=(a-b)$,② $\displaystyle p(b)-p(c)=(b-c)$,③ $\displaystyle p(c)-p(d)=(c-d)$,④ $\displaystyle p(d)-p(a)=(d-a)$이 경우에는 $\displaystyle p(a)-a=p(b)-b=p(c)-c=p(d)-d=k$를 얻게 되는데 3차 방정식 $\displaystyle p(x)-x=k$가 서로 다른 4개의 해를 가질 수 없으므로 모순이다.(2) $\displaystyle (p(a)-p(b),p(b)-p(c),p(c)-p(d),p(d)-p(a))=(+,+,-,+)$$\displaystyle (a-b,b-c,c-d,d-a)=(+,+,+,-)$이므로 다음과 같은 식을 얻게 된다.① $\displaystyle p(a)-p(b)=(a-b)$,② $\displaystyle p(b)-p(c)=(b-c)$,③ $\displaystyle p(c)-p(d)=(d-c)$,④ $\displaystyle p(d)-p(a)=(a-d)$이제 ①, ②, ③, ④를 모두 더하면 $\displaystyle 0=2a-2c>0$가 되고 모순이다.(3) $\displaystyle (p(a)-p(b),p(b)-p(c),p(c)-p(d),p(d)-p(a))=(+,-,+,+)$$\displaystyle (a-b,b-c,c-d,d-a)=(+,+,+,-)$이므로 다음과 같은 식을 얻게 된다.① $\displaystyle p(a)-p(b)=(a-b)$,② $\displaystyle p(b)-p(c)=(c-b)$,③ $\displaystyle p(c)-p(d)=(c-d)$,④ $\displaystyle p(d)-p(a)=(a-d)$이제 ①, ②, ③, ④를 모두 더하면 $\displaystyle 0=2a-2b+2c-2d>0$를 얻게 되어 모순이다.(4) $\displaystyle (p(a)-p(b),p(b)-p(c),p(c)-p(d),p(d)-p(a))=(+,-,-,-)$$\displaystyle (a-b,b-c,c-d,d-a)=(+,+,+,-)$이므로 다음과 같은 식을 얻게 된다.① $\displaystyle p(a)-p(b)=(a-b)$,② $\displaystyle p(b)-p(c)=(c-b)$,③ $\displaystyle p(c)-p(d)=(d-c)$,④ $\displaystyle p(d)-p(a)=(d-a)$이제 ①, ②, ③, ④를 모두 더하면 $\displaystyle 0=2d-2b<0$를 얻게 되어 모순이다.