의예과 3번

1. 3-(1)번 문항포물선 $\displaystyle y=kx^2$위의 서로 다른 세 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,ka^2),\ \mathrm{B}(b,kb^2),\ \mathrm{C}(c,kc^2)$가 꼭짓점인 삼각형의 넓이를 구하기 위해 두 점 A,B사이의 거리를 구하면 $\displaystyle |a-b|\sqrt{1+k^2(a+b)^2}$이고 점 C와 A,B를 지나는 직선 $\displaystyle k(a+b)x-y-kab=0$ 사이의 거리를 구하면 $\displaystyle \frac{|k(a+b)c-kc^2-kab|}{\sqrt{k^2(a+b)^2+1}}$ 이므로 삼각형 ABC의 면적은 $\displaystyle \frac{1}{2}|k||(a-b)(b-c)(c-a)|$이다.

위의 세 점에서의 접선들은$\displaystyle y=2kax-ka^2,y=2kbx-kb^2,y=2kcx-kc^2$이고 교점들은 $\displaystyle (\frac{a+b}{2},kab),(\frac{b+c}{2},kbc),(\frac{c+a}{2},kca)$이다. 이 세 점을 꼭짓점으로 갖는 삼각형의 넓이를 위와 같이 구하면 $\displaystyle \frac{1}{4}|k||(a-b)(b-c)(c-a)|$이므로 A,B,C에서의 접선이 이루는 삼각형의 면적은 삼각형 ABC의 면적의 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다.

2. 3-(2)번 문항$\displaystyle f(0)=0$라고 가정하자. 조건 (가)와 (나)에 다음을 얻을 수 있다.$\displaystyle f^{\prime}(0)=0\text{ -----(1.1)}$$\displaystyle x>0$인 구간에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 바뀌면 (나)와 사잇값 정리에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$인 실수 $\displaystyle a>0$가 존재하므로 (1.1)에 의해 $\displaystyle (0,f(0))$와 $\displaystyle (a,f(a))$를 지나는 두 접선은 서로 평행이므로 조건 (다)에 모순이다. 그러므로 $\displaystyle x>0$인 구간에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호는 변하지 않는다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)>0\text{ -----(1.2)}$라고 두자. $\displaystyle a>0$에 대해 곡선 $\displaystyle y=f(x)$위의 세 점 $\displaystyle (a,f(a)),(-a,f(a)),(0,0)$가 꼭짓점인 삼각형의 면적은 (1.2)에 의해 $\displaystyle f(a)>0$이므로 $\displaystyle af(a)$이다. $\displaystyle (a,f(a))$와$\displaystyle (-a,f(a))$ 에서의 접선의 방정식은 각각 $\displaystyle y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$와 $\displaystyle y=-f^{\prime}(a)(x+a)+f(a)$이고 $\displaystyle (0,0)$에서의 접선은 $\displaystyle y=0$이다. 세 접선의 교점들은 $\displaystyle (\frac{af^{\prime}(a)-f(a)}{f^{\prime}(a)},0),(\frac{-af^{\prime}(a)+f(a)}{f^{\prime}a},0),(0,f(a)-af^{\prime}(a))$들이다.Correction. 대학 답안의 좌표식에 적힌 $\displaystyle f^{\prime}a$는 $\displaystyle f^{\prime}(a)$의 괄호가 빠진 표기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

조건 (다)에 의해 $\displaystyle f(a)-af^{\prime}(a)\ne0(a>0)$이다. $\displaystyle f(x)-xf^{\prime}(x)$는 구간 $\displaystyle x>0$에서 연속이므로 사잇값 정리에 의해 $\displaystyle f(x)-xf^{\prime}(x)$는 $\displaystyle x>0$에서 부호가 변하지 않는다. 부호가 양인 경우와 부호가 음인 경우로 나누어서 생각하자.[경우1] $\displaystyle f(x)-xf^{\prime}(x)<0(x>0)$이 경우 위의 세 교점들을 꼭짓점으로 갖는 삼각형의 면적은 $\displaystyle \frac{(af^{\prime}(a)-f(a))^2}{f^{\prime}(a)}$이다. 그러므로 조건 (다)에 의해 $\displaystyle af(a)=2\frac{(af^{\prime}(a)-f(a))^2}{f^{\prime}(a)}$이고 따라서 $\displaystyle 2a^2f^{\prime}(a)^2-5af(a)f^{\prime}(a)+2f(a)^2=0$이므로 $\displaystyle 2af^{\prime}(a)=f(a)$ 또는 $\displaystyle af^{\prime}(a)=2f(a)$인데 경우1의 가정에 의해 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(a)}{f(a)}=\frac{2}{a}$이므로 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{2}{x}(x>0)$임을 알 수 있고

양변을 적분하면 $\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx=\int\frac{2}{x}dx+c$($\displaystyle c$는 상수)이고$\displaystyle \log_e f(x)=\log_e x^2+c=\log_e x^2+\log_e k=\log_e kx^2$ ($\displaystyle \log_e k=c$)이므로 $\displaystyle f(x)=kx^2(x>0)$이다. 조건 (가)에 의해 모든 실수$\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(x)=kx^2$이다. 즉 이 경우에 있어서 (가), (나), (다)를 만족하는 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle f(x)=kx^2(k>0)$꼴이어야 한다. 문항 (1) 에 의해 이러한 함수는 세 조건을 만족한다.

[경우2] $\displaystyle f(x)-xf^{\prime}(x)>0(x>0)$이 경우에도 세 교점들을 꼭짓점으로 갖는 삼각형의 면적은 $\displaystyle \frac{(af^{\prime}(a)-f(a))^2}{f^{\prime}(a)}$이다. 그러므로 조건 (다)에 의해 $\displaystyle af(a)=2\frac{(af^{\prime}(a)-f(a))^2}{f^{\prime}(a)}$ 이므로 $\displaystyle 2af^{\prime}(a)=f(a)$ 또는 $\displaystyle af^{\prime}(a)=2f(a)$인데 2의 가정에 의해 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(a)}{f(a)}=\frac{1}{2a}$이므로 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{1}{2x}(x>0)$임을 알 수 있고 이 식의 양변을 적분하면$\displaystyle \log_e f(x)=\log_e\sqrt{x}+c=\log_e\sqrt{x}+\log_e k=\log_e k\sqrt{x}$($\displaystyle \log_e k=c$)이므로 $\displaystyle f(x)=k\sqrt{x}(x>0)$이다.조건 (가)에 의해 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(x)=k\sqrt{|x|}$가 되지만 이 함수는 $\displaystyle x=0$에서 미분이 불가능하다. 그러므로 이러한 함수는 조건 (나)를 만족하지 않는다.

결론적으로$\displaystyle f(0)=0,f^{\prime}(x)>0(x>0)$라는 가정하에서 (가), (나), (다)를 모두 만족하는 함수는 $\displaystyle f(x)=kx^2(k>0)$이다. $\displaystyle f(0)=0,f^{\prime}(x)<0(x>0)$라는 가정하에서 세 조건을 만족하는 함수는 비슷한 방법을 사용하여 $\displaystyle f(x)=kx^2(k<0)$임을 보일 수 있다. $\displaystyle f(0)=0$를 가정하였던 사실을 고려하면 (가), (나), (다)를 만족하는 함수는 상수 $\displaystyle k\ne0,d$가 존재하여 $\displaystyle f(x)=kx^2+d$임을 알 수 있다.