의예과 1번

울산대 2022학년도 수시 의예과 1번 · mathesis.kr/archive/ulsan/2022su/uiye_1

집합 $\displaystyle X=\{x|0\le x\le1\}$ 에 대하여 연속함수 $\displaystyle f:X\to X$ 가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=f(1-x)$ 이다.

(나) $\displaystyle f(0)=1$ 이고 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ 이다.

(다) $\displaystyle x_1,x_2\in\left\{x|0\le x\le\frac{1}{2}\right\}$ 에 대하여 $\displaystyle x_1\ne x_2$ 이면 $\displaystyle f(x_1)\ne f(x_2)$ 이다.

$\displaystyle f^1=f$ 라고 하고 2이상인 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle f^n=f\circ f^{n-1}$ 이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. [100점]

(1) $\displaystyle f^5(x)=\frac{1}{2}$ 를 만족시키는 서로 다른 근을 $\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_k$ 라고 할 때, $\displaystyle \sum_{i=1}^{k}a_i$ 를 구하고 그 이유를 논리적으로 설명하시오. (단, $\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_k\in X$ )

(2) $\displaystyle f^7(x)=1$ 를 만족시키는 서로 다른 근을 $\displaystyle b_1,b_2,\cdots,b_l$ 라고 할 때, $\displaystyle \sum_{i=1}^{l}b_i$ 를 구하고 그 이유를 논리적으로 설명하시오. (단, $\displaystyle b_1,b_2,\cdots,b_l\in X$ )

해설강의 준비중

울산대 2022학년도 수시 의예과 1번 · mathesis.kr/archive/ulsan/2022su/uiye_1

+20점 · 주어진 성질들을 적용하여

\displaystyle f^5(x)=\frac{1}{2}

의 근의 개수가 32임을 유추한 경우

+10점 · 근들의 형태가

\displaystyle h_i,1-h_i,i=1,\cdots,16

꼴로 나타남을 언급한 경우

[문항 1-(1)] $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}$ 를 만족하는 근은 연속함수의 사잇값정리와 (a),(b),(c)에 의해 하나의 실수 $\displaystyle c_1\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 에 대해 $\displaystyle c_1,1-c_1$ 이다. 그러므로 $\displaystyle f^{(5)}(x)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow f^{(4)}(x)=c_1,1-c_1$ 이다. 또 $\displaystyle f^{(4)}(x)=c_1,\ f^{(4)}(x)=1-c_1$ 의 근들도 서로 다른 $\displaystyle d_1,d_2\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 에 대해 $\displaystyle f^{(3)}(x)=d_1,1-d_1$ 와 $\displaystyle f^{(3)}(x)=d_2,1-d_2$ 를 만족한다. 이러한 논의를 계속하면 결과적으로 $\displaystyle f^{(5)}(x)=\frac{1}{2}$ 의 근들은 서로 다른 $\displaystyle h_i\in\left(0,\frac{1}{2}\right),i=1,2,\cdots,16$ 에 대해 $\displaystyle h_i,1-h_i,\ i=1,\cdots,16$ 이다.

+10점 · 논리적으로 근들의 합이 16이 됨을 설명한 경우

그러므로 $\displaystyle f^{(5)}(x)=\frac{1}{2}$ 를 만족하는 근들의 합은 $\displaystyle \sum_{i=1}^{16}(h_i+1-h_i)=16$ 이다.

+20점 ·

\displaystyle \{x|f^{(7)}(x)=1\}=\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(4)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(3)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(2)}(x)=0\}\cup\{x|f(x)=0\}\cup\{x|f(x)=1\}

를 유도하든지 이에 준하는 설명을 한 경우

[문항 1-(2)](a), (b), (c)에 의해 $\displaystyle f^{(7)}(x)=1\Leftrightarrow f^{(6)}(x)=0,1$ 이므로 $\displaystyle \{x|f^{(7)}(x)=1\}=\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(6)}(x)=1\}$ $\displaystyle =\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=1\}$ $\displaystyle =\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(4)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(4)}(x)=1\}$ $\displaystyle =\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(4)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(3)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(3)}(x)=1\}$ $\displaystyle =\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(4)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(3)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(2)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(2)}(x)=1\}$ $\displaystyle =\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(4)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(3)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(2)}(x)=0\}\cup\{x|f(x)=0\}\cup\{x|f(x)=1\}$

+20점 ·

\displaystyle f^{(5)}(x)=0,f^{(4)}(x)=0,f^{(3)}(x)=0,f^{(2)}(x)=0,f(x)=0,f(x)=1

의 근들의 합이 각각

\displaystyle 8,4,2,1,\frac{1}{2},1

임을 설명한 경우

이다. 그런데 $\displaystyle \{x|f^{(6)}(x)=0\}=\left\{x|f^{(5)}(x)=\frac{1}{2}\right\}$ 이다. (1)에 의해 이 근들의 합은 16이다. 비슷한 방법으로 $\displaystyle f^{(5)}(x)=0,f^{(4)}(x)=0,f^{(3)}(x)=0,f^{(2)}(x)=0,f(x)=0$ 를 만족하는 근들의 합은 각각 $\displaystyle 8,4,2,1,\frac{1}{2}$ 그리고 $\displaystyle f(x)=1$ 을 만족하는 근들의 합은 1이다.

+20점 · 논리적으로 전체 근들의 합이

\displaystyle \frac{65}{2}

임을 유도한 경우

그러므로 $\displaystyle f^{(7)}(x)=1$ 의 근들의 합은 $\displaystyle 1+\frac{1}{2}+1+2+4+8+16=1+\frac{1/2(2^6-1)}{2-1}=\frac{65}{2}$ 이다.

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