의예과 1번

[문항 1-(1)]$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}$를 만족하는 근은 연속함수의 사잇값정리와 (a),(b),(c)에 의해 하나의 실수 $\displaystyle c_1\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$에 대해 $\displaystyle c_1,1-c_1$이다. 그러므로 $\displaystyle f^{(5)}(x)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow f^{(4)}(x)=c_1,1-c_1$이다. 또 $\displaystyle f^{(4)}(x)=c_1,\ f^{(4)}(x)=1-c_1$의 근들도 서로 다른 $\displaystyle d_1,d_2\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$에 대해 $\displaystyle f^{(3)}(x)=d_1,1-d_1$와 $\displaystyle f^{(3)}(x)=d_2,1-d_2$를 만족한다. 이러한 논의를 계속하면 결과적으로 $\displaystyle f^{(5)}(x)=\frac{1}{2}$의 근들은 서로 다른 $\displaystyle h_i\in\left(0,\frac{1}{2}\right),i=1,2,\cdots,16$에 대해 $\displaystyle h_i,1-h_i,\ i=1,\cdots,16$이다. 그러므로 $\displaystyle f^{(5)}(x)=\frac{1}{2}$를 만족하는 근들의 합은 $\displaystyle \sum_{i=1}^{16}(h_i+1-h_i)=16$이다.

[문항 1-(2)](a), (b), (c)에 의해 $\displaystyle f^{(7)}(x)=1\Leftrightarrow f^{(6)}(x)=0,1$이므로$\displaystyle \{x|f^{(7)}(x)=1\}=\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(6)}(x)=1\}$$\displaystyle =\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=1\}$$\displaystyle =\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(4)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(4)}(x)=1\}$$\displaystyle =\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(4)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(3)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(3)}(x)=1\}$$\displaystyle =\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(4)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(3)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(2)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(2)}(x)=1\}$$\displaystyle =\{x|f^{(6)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(5)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(4)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(3)}(x)=0\}\cup\{x|f^{(2)}(x)=0\}\cup\{x|f(x)=0\}\cup\{x|f(x)=1\}$

이다. 그런데 $\displaystyle \{x|f^{(6)}(x)=0\}=\left\{x|f^{(5)}(x)=\frac{1}{2}\right\}$이다. (1)에 의해 이 근들의 합은 16이다. 비슷한 방법으로 $\displaystyle f^{(5)}(x)=0,f^{(4)}(x)=0,f^{(3)}(x)=0,f^{(2)}(x)=0,f(x)=0$를 만족하는 근들의 합은 각각 $\displaystyle 8,4,2,1,\frac{1}{2}$ 그리고 $\displaystyle f(x)=1$을 만족하는 근들의 합은 1이다. 그러므로 $\displaystyle f^{(7)}(x)=1$의 근들의 합은$\displaystyle 1+\frac{1}{2}+1+2+4+8+16=1+\frac{1/2(2^6-1)}{2-1}=\frac{65}{2}$이다.