의예과 2번

[문항 2]$\displaystyle \{1,2,\cdots,n\}$에서 서로 다른 두 수 를 선택할 확률은 $\displaystyle \frac{1}{{}_n\mathrm{C}_2}=\frac{2}{n(n-1)}$이다. 그러므로$\displaystyle E(X)=\frac{2}{n(n-1)}((1+2)+(1+3)+\cdots+(1+n)+(2+3)+\cdots+(2+n)+\cdots+(n-1+n))$인데

이 식에서 $\displaystyle k(\in\{1,2,\cdots,n\})$가 $\displaystyle (n-1)$번씩 나타나므로$\displaystyle \begin{aligned}E(X)&=\frac{2}{n(n-1)}((1+2)+(1+3)+\cdots+(1+n)+(2+3)+\cdots+(2+n)+\cdots+(n-1+n))\\&=\frac{2}{n(n-1)}(n-1)\frac{1}{2}n(n+1)=n+1\end{aligned}$이다. 그리고

$\displaystyle \begin{aligned}V(X)&=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{2}{n(n-1)}((1+2)^2+\cdots+(1+n)^2+(2+3)^2+\cdots+(2+n)^2+\cdots\\&\quad+(n-1+n)^2)-(n+1)^2\\&=\frac{2}{n(n-1)}(1^2+2^2+\cdots+1^2+n^2+2^2+3^2+\cdots+2^2+n^2+\cdots+(n-1)^2+n^2\\&\quad+2(1\cdot2+\cdots+(n-1)\cdot n))-(n+1)^2\end{aligned}$

인데 이 식에서도 각 $\displaystyle k^2(k=1,2,\cdots,n)$가 $\displaystyle (n-1)$씩 나타나는 규칙성과 또$\displaystyle 2(1\cdot2+\cdots+(n-1)\cdot n=(\sum_{k=1}^{n}k)^2-\sum_{k=1}^{n}k$를 이용하여Correction. 대학 답안의 교차항 항등식에는 왼쪽 닫는 괄호와 오른쪽 합의 $\displaystyle k$에 붙을 제곱이 빠져 있다. $\displaystyle 2\sum_{i<j}ij=(\sum_{k=1}^n k)^2-\sum_{k=1}^n k^2$로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}V(X)&=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{2}{n(n-1)}((1+2)^2+\cdots+(1+n)^2+(2+3)^2+\cdots+(2+n)^2+\cdots\\&\quad+(n-1+n)^2)-(n+1)^2\\&=\frac{2}{n(n-1)}(1^2+2^2+\cdots+1^2+n^2+2^2+3^2+\cdots+2^2+n^2+\cdots+(n-1)^2+n^2\\&\quad+2(1\cdot2+\cdots+(n-1)\cdot n))-(n+1)^2\\&=\frac{2}{n(n-1)}((n-1)\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{4}n^2(n+1)^2-\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1))-(n+1)^2\\&=\frac{1}{6}(n+1)(n-2)\end{aligned}$를 유도할 수 있다.