의예과 3번

[문항 3-(1)]원 $\displaystyle C_2$의 반지름을 $\displaystyle r$이라고 할 때 구의 중심 O에서 A의 까지의 거리는 $\displaystyle \sqrt{4-r^2}$ 이다. $\displaystyle r=1$이면 $\displaystyle \overline{OA}=\sqrt{3}$. 이제 직각삼각형 $\displaystyle \triangle OAH$를 생각하면 $\displaystyle \angle AOH=\frac{\pi}{2}-\phi$ 이므로 $\displaystyle \overline{AH}=\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\phi\right)=\sqrt{3}\cos\phi$ 이고 $\displaystyle \overline{OH}=\sqrt{3}\sin\phi$임을 알 수 있다. $\displaystyle y$축과 $\displaystyle y$축을 평면 $\displaystyle \alpha$위로 정사영한 반직선이 두 평면의 이면각을 결정하므로 $\displaystyle A=(0,\overline{OH},\overline{AH})=(0,\sqrt{3}\sin\phi,\sqrt{3}\cos\phi)$. 삼각형의 닮음 조건을 활용하면 $\displaystyle Q=(0,\sqrt{3}\sin\phi-\cos\phi,\sqrt{3}\cos\phi+\sin\phi)$ 가 된다. 그리고 $\displaystyle x$축과 평행한 직선이 반지름이 1인 원 $\displaystyle C_2$와 만나는 점이 R이므로 $\displaystyle R=(1,\sqrt{3}\sin\phi,\sqrt{3}\cos\phi)$.

[문항 3-(2)]점 $\displaystyle Q,R$의 $\displaystyle xy$평면 위로의 정사영을 각각 $\displaystyle Q^{\prime},R^{\prime}$이라고 두면 이 점들의 $\displaystyle z$좌표만 0이 되므로 $\displaystyle R^{\prime}=(1,\sqrt{3}\sin\phi,0),\ Q^{\prime}=(0,\sqrt{3}\sin\phi-\cos\phi,0)$ 이다.

이제 $\displaystyle xy$-좌표평면에서 $\displaystyle \triangle PQ^{\prime}R^{\prime}$은 점$\displaystyle Q^{\prime}$의 $\displaystyle y$좌표값의 부호에 따라 $\displaystyle \sqrt{3}\sin\phi-\cos\phi\ge0,\ \sqrt{3}\sin\phi-\cos\phi<0$ 두 가지 경우로 주어진다.예를 들면 $\displaystyle \sqrt{3}\sin\phi-\cos\phi<0$인 경우에 점 $\displaystyle Q^{\prime}$과 점 $\displaystyle R^{\prime}$을 잇는 직선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 S라고 하면 $\displaystyle \triangle PQ^{\prime}R^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle \triangle SQ^{\prime}P+\triangle SR^{\prime}P$ 이고 점 S의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle 1-\sqrt{3}\tan\phi$이므로 각각의 삼각형의 넓이의 합에 의해$\displaystyle \begin{aligned}&\frac{(1+\sqrt{3}\tan\phi)(\cos\phi-\sqrt{3}\sin\phi)}{2}+\frac{(1+\sqrt{3}\tan\phi)\sqrt{3}\sin\phi}{2}\\&=\frac{(1+\sqrt{3}\tan\phi)\cos\phi}{2}=\frac{\cos\phi+\sqrt{3}\sin\phi}{2}\end{aligned}$을 얻는다.$\displaystyle \sqrt{3}\sin\phi-\cos\phi\ge0$인 경우에도 점 $\displaystyle Q^{\prime}$과 점 $\displaystyle R^{\prime}$을 잇는 직선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 S라고 하면 $\displaystyle \triangle PQ^{\prime}R^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle \triangle SR^{\prime}P-\triangle SQ^{\prime}P$ 이므로 위의 계산을 이용하면 $\displaystyle \frac{\cos\phi+\sqrt{3}\sin\phi}{2}$를 얻는다.

[문항 3-(3)]$\displaystyle P=(2,0,0)$이므로 $\displaystyle \overline{PR}=2,\overline{PQ}=2\sqrt{2},\overline{QR}=\sqrt{2}$ 임을 알 수 있고 TRIANGLEPQR 의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}$ 임을 알 수 있다.Correction. 대학 답안의 “TRIANGLEPQR”는 삼각형 $\displaystyle PQR$을 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

정사영의 넓이 공식에 의해 $\displaystyle \triangle PQR$의넓이$\displaystyle \times\cos\theta=\triangle PQ^{\prime}R^{\prime}$의넓이 이므로 이제 주어진 조건에 의해 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$를 대입하면 $\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\cos\phi+\sqrt{3}\sin\phi}{2}$ 이므로

$\displaystyle \cos\phi+\sqrt{3}\sin\phi=\sqrt{3}$ 로부터 $\displaystyle \cos\phi=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin\phi=\frac{1}{2}$ 이고 $\displaystyle \phi=\frac{\pi}{6}$.