자연계열 1번

점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표 $\displaystyle x$를 시각 $\displaystyle t$의 함수 $\displaystyle f ( t )$로 나타내면 $\displaystyle t = 2$일 때 $\displaystyle \mathrm{P}$의 위치는 $\displaystyle f ( 2 )$이다.

따라서 $\displaystyle f ( 2 ) = \int_{0}^{2} {v ( t ) d t} = \int_{0}^{2} {\frac{{t - 1}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b ( t - 1 )}}} d t$이다.

$\displaystyle u = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b ( t - 1 )}$로 놓으면 $\displaystyle t - 1 = \frac{{a^{2} + b^{2} - u^{2}}}{2 a b}$에서$\displaystyle \frac{dt}{du}=-\frac u{ab},\quad\frac{t-1}{\sqrt{a^2+b^2-2ab(t-1)}}=\frac{a^2+b^2-u^2}{2abu}=\frac{a^2+b^2}{2ab}\cdot\frac1u-\frac u{2ab}$

이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int\frac{t-1}{\sqrt{a^2+b^2-2ab(t-1)}}\,dt&=\frac{a^2+b^2}{2ab}\int\frac1u\cdot\left(-\frac u{ab}\right)du-\frac1{2ab}\int u\cdot\left(-\frac u{ab}\right)du\\&=-\frac{(a^2+b^2)u}{2a^2b^2}+\frac{u^3}{6a^2b^2}+C\\&=-\frac{(a^2+b^2)\sqrt{a^2+b^2-2ab(t-1)}}{2a^2b^2}\\&\quad+\frac{\{a^2+b^2-2ab(t-1)\}\sqrt{a^2+b^2-2ab(t-1)}}{6a^2b^2}+C\end{aligned}$이다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}f(2)=\int_0^2v(t)\,dt&=\Biggl[-\frac{(a^2+b^2)\sqrt{a^2+b^2-2ab(t-1)}}{2a^2b^2}+\frac{\{a^2+b^2-2ab(t-1)\}\sqrt{a^2+b^2-2ab(t-1)}}{6a^2b^2}\Biggr]_0^2\\&=\frac{(a^2+b^2)(-|b-a|+|a+b|)}{2a^2b^2}+\frac{|(b-a)^3|-|(a+b)^3|}{6a^2b^2}\\&=\frac{(a^2+b^2)(-(b-a)+(a+b))}{2a^2b^2}+\frac{(b-a)^3-(a+b)^3}{6a^2b^2}\quad(\because0<a<b)\\&=\frac{2a}{3b^2}\end{aligned}$