자연계열 3번

점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표를 $\displaystyle ( p , 0 )$이라 놓고 그 때의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 좌표를 $\displaystyle \left( s , e^{s} + \frac{{1}}{3} \right)$이라 두자. 곡선 $\displaystyle y = e^{x} + \frac{{1}}{3}$의 점 $\displaystyle \mathrm{X} ( x , e^{x} + \frac{{1}}{3} )$에 대하여 $\displaystyle L ( x ) = {\overline{PX}}^{2}$ 라 하면$\displaystyle \begin{aligned}L ( x ) &= ( x - p )^{2} + ( e^{x} + \frac{{1}}{3} )^{2} , \\ L^{\prime} ( x ) &= 2 ( x - p ) + 2 e^{x} ( e^{x} + \frac{{1}}{3} )\end{aligned}$이다. 그런데 선분 $\displaystyle {\overline{PX}}$는 점 $\displaystyle \mathrm{X}$가 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 일 때 최소 (극소) 이므로$\displaystyle L^{\prime} ( s ) = 2 ( s - p ) + 2 e^{s} ( e^{s} + \frac{{1}}{3} ) = 0$이다. 즉,$\displaystyle p = s + e^{s} ( e^{s} + \frac{{1}}{3} )$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left( s + e^{s} \left( e^{s} + \frac{{1}}{3} \right) , 0 \right)$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{R}$은 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 를 2:1 로 내분하는 점이므로 점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 좌표는$\displaystyle \left( \frac{{e^{s} ( e^{s} + \frac{{1}}{3} ) + s + 2 s}}{3} , \frac{{2 e^{s} + \frac{{2}}{3}}}{3} \right)$이다. 따라서

$\displaystyle x = \frac{{e^{s} \left( e^{s} + \frac{{1}}{3} \right) + 3 s}}{3} , y = \frac{{2 e^{s} + \frac{{2}}{3}}}{3}$라 하면 $\displaystyle y = \frac{{2 e^{s} + \frac{{2}}{3}}}{3}$에서 $\displaystyle y > \frac{{2}}{9} , \frac{{3 y}}{2} = e^{s} + \frac{{1}}{3} , e^{s} = \frac{{9 y - 2}}{6} , s = \ln \left( \frac{{9 y - 2}}{6} \right)$ 이므로$\displaystyle x=\frac{\frac{9y-2}6\cdot\frac{3y}2}3+\ln\left(\frac{9y-2}6\right)=\frac y{12}(9y-2)+\ln\left(\frac{9y-2}6\right)$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{R}$이 만족시키는 곡선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle x = \frac{{y}}{12} ( 9 y - 2 ) + \ln \left( \frac{{9 y - 2}}{6} \right)$ (단, $\displaystyle y > \frac{{2}}{9}$)

곡선 $\displaystyle y = e^{x} + \frac{{1}}{3}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( s , e^{s} + \frac{{1}}{3} \right)$ 에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y = e^{s} ( x - s ) + e^{s} + \frac{{1}}{3}$이다. 그런데 점 $\displaystyle \mathrm{S}$는 위의 접선의 $\displaystyle x$절편이므로 점 $\displaystyle \mathrm{S}$의 좌표는$\displaystyle \left( s - 1 - \frac{{1}}{3 e^{s}} , 0 \right)$이다. 따라서 선분 $\displaystyle {\overline{PS}}$의 길이를 $\displaystyle \ell ( s )$라 하면 다음과 같다.$\displaystyle \ell ( s ) = \left( e^{s} + \frac{{1}}{3} \right) \left( e^{s} + e^{- s} \right)$

이때$\displaystyle \ell^{\prime}(s)=\frac13e^{-s}(2e^s-1)(3e^{2s}+2e^s+1)$이고$\displaystyle e^{- s} > 0 , 3 e^{2 s} + 2 e^{s} + 1 > 0$이므로 $\displaystyle \ell^{\prime} ( s ) = 0$의 해는 $\displaystyle s = \ln \frac{{1}}{2}$이고, $\displaystyle s = \ln \frac{{1}}{2}$ 근방에서 $\displaystyle \ell^{\prime} ( s )$의 부호는 음 (-)에서 양(+)으로 바뀌므로 $\displaystyle \ell ( s )$는 $\displaystyle s = \ln \frac{{1}}{2}$에서 극솟값을 갖고 극소가 되는 점이 1개 밖에 없으므로 극솟값이 최솟값이 된다. 즉 $\displaystyle \ell ( s )$의 최솟값은 $\displaystyle \ell \left( \ln \frac{{1}}{2} \right) = \frac{{25}}{12}$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 $\displaystyle y$축 위에 있을 때 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 0 , \frac{{4}}{3} \right)$이고 그때의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{{4}}{3} , 0 \right)$이다. 그러므로 $\displaystyle t_{0}$는 방정식$\displaystyle 18 t^{3} + 11 t - 3 = \frac{{4}}{3}$ 즉 , $\displaystyle ( 3 t - 1 ) \left( 6 t^{2} + 2 t + \frac{{13}}{3} \right) = 0$의 실근이다. 그런데 $\displaystyle 6 t^{2} + 2 t + \frac{{13}}{3} > 0$이므로 위의 방정식은 하나의 실근$\displaystyle t_{0} = \frac{{1}}{3}$을 갖는다.

점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 $\displaystyle t$와 $\displaystyle s$로 표현되므로 $\displaystyle t$와 $\displaystyle s$는 다음의 관계식을 만족시킨다.$\displaystyle 18 t^{3} + 11 t - 3 = e^{s} \left( e^{s} + \frac{{1}}{3} \right) + s$따라서 음함수의 미분법을 이용해서 $\displaystyle s$를 $\displaystyle t$에 대해서 미분하면$\displaystyle 54 t^{2} + 11 = \left( 2 e^{2 s} + \frac{{1}}{3} e^{s} + 1 \right) \frac{{d s}}{d t}$이므로 $\displaystyle s = 0 , t = \frac{{1}}{3}$일 때$\displaystyle \frac{{d s}}{d t} = \frac{{51}}{10}$이다.

그런데 (b) 번에서 점 $\displaystyle \mathrm{S}$의 좌표가 $\displaystyle \left( s - 1 - \frac{{1}}{3 e^{s}} , 0 \right)$이므로, 합성함수의 미분법을 이용하여 $\displaystyle x = s - 1 - \frac{{1}}{3 e^{s}}$을 $\displaystyle t$로 미분하면$\displaystyle \frac{{d x}}{d t} = \frac{{d x}}{d s} \frac{{d s}}{d t} = \left( 1 + \frac{{1}}{3 e^{s}} \right) \frac{{d s}}{d t}$이다. 따라서 $\displaystyle s = 0 , t = \frac{{1}}{3}$일 때 점 $\displaystyle \mathrm{S}$의 속도는 $\displaystyle \frac{{d x}}{d t} = \frac{{34}}{5}$이다.