자연계열 4번

점 $\displaystyle \mathrm{B}$와 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표를 구하면 $\displaystyle \mathrm{B} ( \cos \theta_{1} , \sin \theta_{1} ) , \mathrm{C} ( 3 + 2 \cos \theta_{1} , 2 \sin \theta_{1} )$이므로 직선 $\displaystyle l$의 기울기를 $\displaystyle m$이라고 하면$\displaystyle m = \frac{{2 \sin \theta_{1} - \sin \theta_{1}}}{3 + 2 \cos \theta_{1} - \cos \theta_{1}} = \frac{{\sin \theta_{1}}}{3 + \cos \theta_{1}}$이다.

$\displaystyle m$을 $\displaystyle \theta_{1}$에 대하여 미분하면$\displaystyle \frac{{d m}}{d \theta_{1}} = \frac{{3 \cos \theta_{1} + 1}}{( 3 + \cos \theta_{1} )^{2}}$이고,방정식 $\displaystyle \frac{{d m}}{d \theta_{1}} = 0$으로부터 $\displaystyle \cos \theta_{1} = - \frac{{1}}{3}$을 얻는다.$\displaystyle \cos \theta_{1} = - \frac{{1}}{3}$인 $\displaystyle \theta_{1} ( 0 < \theta_{1} < \pi )$ 근방에서 $\displaystyle \frac{{d m}}{d \theta_{1}}$의 부호가 양(+)에서 음(-) 으로 바뀌므로 이 값에서 $\displaystyle m$은 극댓값을 갖고, 주어진 범위에서 극댓값은 1개만 존재하므로 $\displaystyle m$의 극댓값이 최댓값이 된다.이때 $\displaystyle \sin \theta_{1} = \frac{{2 \sqrt{2}}}{3}$이므로 기울기 $\displaystyle m$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{{\frac{{2 \sqrt{2}}}{3}}}{3 - \frac{{1}}{3}} = \frac{{\sqrt{2}}}{4}$이다.

이제 직선 $\displaystyle l$의 기울기가 $\displaystyle \frac{{\sqrt{2}}}{4}$이고 점 $\displaystyle \mathrm{B} \left( - \frac{{1}}{3} , \frac{{2 \sqrt{2}}}{3} \right)$를 지나므로 직선 $\displaystyle l$의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle l : 4 y - \sqrt{2} x - 3 \sqrt{2} = 0$.점 $\displaystyle \mathrm{O}$와 직선 $\displaystyle l$ 사이의 거리 $\displaystyle d_{1} = \frac{{\left| 4 \cdot 0 - \sqrt{2} \cdot 0 - 3 \sqrt{2} \right|}}{\sqrt{4^{2} + ( \sqrt{2} )^{2}}} = 1$는 원 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}$의 반지름의 길이와 같으므로 직선 $\displaystyle l$은 원 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}$과 접한다.또한, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 직선 $\displaystyle l$사이의 거리 $\displaystyle d_{2} = \frac{{\left| 4 \cdot 0 - \sqrt{2} \cdot 3 - 3 \sqrt{2} \right|}}{\sqrt{4^{2} + ( \sqrt{2} )^{2}}} = 2$는 원 $\displaystyle \mathrm{C}_{2}$의 반지름의 길이와 같으므로 직선 $\displaystyle l$은 원 $\displaystyle \mathrm{C}_{2}$와 접한다.이를 종합하면 $\displaystyle l$은 두 원 $\displaystyle \mathrm{C}_{1} , \mathrm{C}_{2}$의 공통 접선이다.

점 $\displaystyle \mathrm{B}$와 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{B} ( \cos \theta_{1} , \sin \theta_{1} ) , \mathrm{C} ( 3 + 2 \cos 2 \theta_{1} , 2 \sin 2 \theta_{1} )$이다.

사각형 $\displaystyle \mathrm{OACB}$가 볼록사각형임을 보이기 위해서는 아래 그림과 같이 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 연장선 $\displaystyle l_{1}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 연장선 $\displaystyle l_{2}$ , 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$의 연장선 $\displaystyle l_{3}$로 둘러싸인 영역에 점 $\displaystyle \mathrm{C}$가 존재함을 보이면 된다.

우선, 점 $\displaystyle \mathrm{C}$가 직선 $\displaystyle l_{1}$의 아래쪽에 있음을 보이자. 직선 $\displaystyle l_{1}$의 방정식은 $\displaystyle y - \tan \theta_{1} x = 0$이고 점 $\displaystyle \mathrm{C} ( 3 + 2 \cos 2 \theta_{1} , 2 \sin 2 \theta_{1} )$의 좌표를 직선 $\displaystyle l_{1}$의 좌변에 대입하면 $\displaystyle \sin \theta_{1} > 0 , \cos \theta_{1} > \frac{{1}}{6}$일 때, $\displaystyle \tan \theta_{1} > 0$이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle \begin{aligned}2\sin2\theta_1-\tan\theta_1(3+2\cos2\theta_1)&=4\sin\theta_1\cos\theta_1-\tan\theta_1(3+2(2\cos^2\theta_1-1))\\&=4\sin\theta_1\cos\theta_1-\tan\theta_1(1+4\cos^2\theta_1)\\&=4\sin\theta_1\cos\theta_1-\tan\theta_1-4\sin\theta_1\cos\theta_1\\&=-\tan\theta_1<0\end{aligned}$따라서 점 $\displaystyle \mathrm{C}$는 직선 $\displaystyle l_{1}$의 아래쪽에 있다.

또한, 직선 $\displaystyle l_{3}$는 $\displaystyle x$축 (즉, $\displaystyle y = 0$) 이고 $\displaystyle \mathrm{C}$의 $\displaystyle y$좌표 $\displaystyle 2 \sin 2 \theta_{1}$은 양수이므로 점 $\displaystyle \mathrm{C}$는 직선 $\displaystyle l_{3}$위쪽에 있다.

이제 점 $\displaystyle \mathrm{C}$가 직선 $\displaystyle l_{2}$ 위쪽 부분에 있음을 보이자. 두 점 $\displaystyle \mathrm{A} , \mathrm{B}$를 지나는 직선 $\displaystyle l_{2}$의 방정식을 구하면 $\displaystyle ( 3 - \cos \theta_{1} ) y + \sin \theta_{1} ( x - 3 ) = 0$이다.점 $\displaystyle \mathrm{C}$를 직선 $\displaystyle l_{2}$의 방정식 좌변에 대입하면 $\displaystyle \sin \theta_{1} > 0 , \cos \theta_{1} > \frac{{1}}{6}$이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle \begin{aligned}( 3 - \cos \theta_{1} ) \times 2 \sin 2 \theta_{1} + \sin \theta_{1} ( 3 + 2 \cos 2 \theta_{1} - 3 ) &= ( 3 - \cos \theta_{1} ) \times 4 \sin \theta_{1} \cos \theta_{1} + \sin \theta_{1} \left\{ 2 ( 2 \cos^{2} \theta_{1} - 1 ) \right\} \\ &= \sin \theta_{1} \left\{ ( 3 - \cos \theta_{1} ) \times 4 \cos \theta_{1} + ( 4 \cos^{2} \theta_{1} - 2 ) \right\} \\ &= 2 \sin \theta_{1} ( 6 \cos \theta_{1} - 1 ) > 0\end{aligned}$따라서 점 $\displaystyle \mathrm{C}$가 직선 $\displaystyle l_{2}$ 위쪽 부분에 있다.

사각형 $\displaystyle \mathrm{OACB}$가 볼록사각형이므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{OACB}$의 넓이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 넓이와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이의 합과 같다.

일반적으로 원점 $\displaystyle \mathrm{O} ( 0 , 0 )$과 두 점 $\displaystyle \mathrm{P} ( x_{1} , y_{1} ) , \mathrm{Q} ( x_{2} , y_{2} )$에 대하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$의 넓이 $\displaystyle S$는 다음과 같다.$\displaystyle S = \frac{{1}}{2} \left| y_{1} x_{2} - y_{2} x_{1} \right| .$(증명 : 두 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$와 $\displaystyle \mathrm{OQ}$의 사잇각을 $\displaystyle \theta ( 0 < \theta < \pi )$라 하자.그러면 , $\displaystyle S = \frac{{1}}{2} \left| \mathrm{OP} \right| \left| \mathrm{OQ} \right| \sin \theta$ 이다.내적의 성질에 의하여 $\displaystyle \cos \theta = \frac{{{\overrightarrow{OP}} \cdot {\overrightarrow{OQ}}}}{\left| \mathrm{OP} \right| \left| \mathrm{OQ} \right|} = \frac{{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$이다.이 때, $\displaystyle \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^{2} \theta} = \sqrt{1 - \frac{{( x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} )^{2}}}{( x_{1}^{2} + y_{1}^{2} ) ( x_{2}^{2} + y_{2}^{2} )}} = \frac{{\left| y_{1} x_{2} - y_{2} x_{1} \right|}}{\sqrt{( x_{1}^{2} + y_{1}^{2} )} \sqrt{( x_{2}^{2} + y_{2}^{2} )}}$$\displaystyle \therefore S = \frac{{1}}{2} \left| \mathrm{OP} \right| \left| \mathrm{OQ} \right| \sin \theta = \frac{{1}}{2} \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} \times \frac{{\left| y_{1} x_{2} - y_{2} x_{1} \right|}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}} = \frac{{1}}{2} \left| y_{1} x_{2} - y_{2} x_{1} \right| )$그러므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{OAB} = \frac{{\left| 3 \sin \theta_{1} - 0 \times \cos \theta_{1} \right|}}{2} = \frac{{3 \sin \theta_{1}}}{2}$이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이는 세 점 $\displaystyle \mathrm{A} , \mathrm{B} , \mathrm{C}$를 $\displaystyle ( - 3 , 0 )$만큼 평행이동하여 얻어진 세 점 $\displaystyle ( 0 , 0 ) , ( \cos \theta_{1} - 3 , \sin \theta_{1} ) , ( 2 \cos 2 \theta_{1} , 2 \sin 2 \theta_{1} )$로 이루어진 삼각형의 넓이와 같다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\triangle \mathrm{ABC} &= \frac{{1}}{2} \left| 2 \cos 2 \theta_{1} \sin \theta_{1} - 2 \sin 2 \theta_{1} ( \cos \theta_{1} - 3 ) \right| \\ &= \frac{{1}}{2} \left| 2 ( 2 \cos^{2} \theta_{1} - 1 ) \sin \theta_{1} - 4 \sin \theta_{1} \cos \theta_{1} ( \cos \theta_{1} - 3 ) \right| \\ &= \left| 6 \sin \theta_{1} \cos \theta_{1} - \sin \theta_{1} \right| \\ &= \left| \sin \theta_{1} ( 6 \cos \theta_{1} - 1 ) \right| \\ &= \sin \theta_{1} ( 6 \cos \theta_{1} - 1 ) ( \because \sin \theta_{1} > 0 , \cos \theta_{1} > \frac{{1}}{6} ) \\ &= 3 \sin 2 \theta_{1} - \sin \theta_{1}\end{aligned}$이므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{OACB}$의 넓이를 $\displaystyle S ( \theta_{1} )$이라고 하면$\displaystyle S ( \theta_{1} ) = \frac{{3 \sin \theta_{1}}}{2} + 3 \sin 2 \theta_{1} - \sin \theta_{1} = \frac{{\sin \theta_{1}}}{2} + 3 \sin 2 \theta_{1}$이다.

이제 $\displaystyle S^{\prime} ( \theta_{1} ) = \frac{{1}}{2} \cos \theta_{1} + 6 \cos 2 \theta_{1} = \frac{{1}}{2} \cos \theta_{1} + 6 ( 2 \cos^{2} \theta_{1} - 1 ) = 12 \cos^{2} \theta_{1} + \frac{{1}}{2} \cos \theta_{1} - 6$이므로 $\displaystyle S^{\prime} ( \theta_{1} ) = 0$ 으로부터 $\displaystyle \cos \theta_{1} = \frac{{- 1 + \sqrt{1153}}}{48} ( \because \cos \theta_{1} > \frac{{1}}{6} )$을 얻는다. 또한$\displaystyle \cos \theta_{1} = \frac{{- 1 + \sqrt{1153}}}{48}$을 만족하는 $\displaystyle \theta_{1}$의 근방에서 $\displaystyle S^{\prime} ( \theta_{1} )$의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌므로 그 $\displaystyle \theta_{1}$값에서 극댓값을 갖고, 주어진 범위 $\displaystyle ( \sin \theta_{1} > 0 , \cos \theta_{1} > \frac{{1}}{6} , 0 \leq \theta_{1} \leq 2 \pi )$에서 극댓값이 1개 존재하므로 그 값이 최댓값이 된다.그러므로 $\displaystyle \cos \theta_{1} = \frac{{- 1 + \sqrt{1153}}}{48}$일 때, $\displaystyle S ( \theta_{1} )$은 최댓값을 갖는다.