자연계열 1번

함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{{\ln x}}{x}$는 구간 $\displaystyle ( 0 , \infty )$에서 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = \frac{{1 - \ln x}}{x^{2}}$이므로,

구간 $\displaystyle [ 1 , \infty )$에서 $\displaystyle f ( x )$의 증가와 감소는 아래 표와 같다.

$\displaystyle 2 \leq x \leq 3$, $\displaystyle x \ne e$이면 $\displaystyle \frac{{\ln x}}{x} < \frac{{1}}{e}$ 이므로$\displaystyle \int_{2}^{3} {\frac{{\ln x}}{x} d x} < \int_{2}^{3} {\frac{{1}}{e} d x} = \frac{{1}}{e}$이다.

함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{{\ln x}}{x}$는 구간 $\displaystyle [ 1 , 2 ]$에서 증가하므로$\displaystyle \int_{1}^{2} {\frac{{\ln x}}{x} d x <} \int_{1}^{2} {\frac{{\ln 2}}{2} d x =} \frac{{\ln 2}}{2}$이고, 구간 $\displaystyle [ 3 , n + 1 ]$에서 감소하므로$\displaystyle \int_{3}^{n + 1} {\frac{{\ln x}}{x} d x} = \sum_{k = 3}^{n} \int_{k}^{k + 1} {\frac{{\ln x}}{x} d x} < \sum_{k = 3}^{n} \int_{k}^{k + 1} {\frac{{\ln k}}{k} d x} = \sum_{k = 3}^{n} \frac{{\ln k}}{k}$이다.

$\displaystyle \ln n < \ln ( n + 1 )$이고 $\displaystyle \int_{2}^{3} {\frac{{\ln x}}{x} d x <} \frac{{1}}{e}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\frac{(\ln n)^2}2<\frac12\bigl(\ln(n+1)\bigr)^2=\int_1^{n+1}\frac{\ln x}x\,dx&=\int_1^2\frac{\ln x}x\,dx+\int_2^3\frac{\ln x}x\,dx+\sum_{k=3}^n\int_k^{k+1}\frac{\ln x}x\,dx\\&<\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}k+\frac1e\\&=\ln\left(2^{\frac12}3^{\frac13}\cdots\cdots n^{\frac1n}\right)+\frac1e\end{aligned}$이다.