자연계열 3번

오른쪽 그림과 같이 정사각뿔 P의 5개의 꼭짓점을 A, B, C, D, E라 놓고, 다음과 같이 좌표를 도입하자.

$\displaystyle \mathrm{O} ( 0 , 0 , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{A} ( 1 , 0 , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{B} ( 0 , 1 , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{C} ( - 1 , 0 , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{D} ( 0 , - 1 , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{E} \left( 0 , 0 , \sqrt{1 + \sqrt{2}} \right)$

세 점 A, B, E를 지나는 평면의 방정식은$\displaystyle x + y + \frac{{z}}{\sqrt{1 + \sqrt{2}}} = 1$이다. 이때 원점 O에서 삼각형 ABE에 내린 수선의 발을 H라 하면$\displaystyle \mathrm{H} \left( \sqrt{2} - 1 , \sqrt{2} - 1 , \frac{{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{1 + \sqrt{2}}} \right)$이다.

구 S와 위 평면의 공통부분은 오른쪽 그림과 같이 점 A, B를 지나고 중심이 점 H인 원이 된다. 이 원과 삼각형 ABE의 변 AE, BE와의 교점을 각각 F, G라고 하자. (단, 두 점 F, G는 점 A와 B가 아니라고 하자.)

이제 두 점 F와 G의 좌표를 구해보자. 두 점 A와 E를 지나는 직선의 방정식은$\displaystyle \frac{{x - 1}}{1} = - \frac{{z}}{\sqrt{1 + \sqrt{2}}} , y = 0$이고, 구 S의 방정식은$\displaystyle x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$이므로, 연립하여 풀면$\displaystyle \mathrm{F} \left( \sqrt{2} - 1 , 0 , \frac{{\sqrt{2}}}{\sqrt{1 + \sqrt{2}}} \right)$이다. 마찬가지로 직선 BE와 구면과의 교점을 구하면$\displaystyle \mathrm{G} \left( 0 , \sqrt{2} - 1 , \frac{{\sqrt{2}}}{\sqrt{1 + \sqrt{2}}} \right)$이다.

두 벡터 $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{HF}}}$와 $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{HG}}}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$ ($\displaystyle 0 < \theta < \pi$)라고 하면$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{HF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HG}}}{|\overrightarrow{\mathrm{HF}}|\,|\overrightarrow{\mathrm{HG}}|}=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt{2-\sqrt2}\sqrt{2-\sqrt2}}=\frac{\sqrt2-1}{2-\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2$이므로,$\displaystyle \theta = \frac{{\pi}}{4}$

이다. 이때, 부채꼴의 호 $\displaystyle \overset{\frown}{\mathrm{FG}}$의 길이 $\displaystyle l$은$\displaystyle l = {\overline{\mathrm{HF}}} \theta = \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{4} \pi$이다. 그런데 구하는 곡선의 길이는 호 $\displaystyle \overset{\frown}{\mathrm{FG}}$의 길이의 4배이므로$\displaystyle 4 l = \sqrt{2 - \sqrt{2}} \pi$이다.