자연계열 1번

포물선 $\displaystyle y=x^2$의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,a^2)$, $\displaystyle \mathrm{B}(b,b^2)$에서의 접선의 방정식은 차례로 $\displaystyle y=2ax-a^2$, $\displaystyle y=2bx-b^2$이고, 두 접선의 교점 C는 $\displaystyle \mathrm{C}\left(\frac{a+b}{2},ab\right)$이며 직선 AB의 방정식은 $\displaystyle y=(a+b)x-ab$이다. $\displaystyle b>a$라 하자. 이때 포물선 $\displaystyle y=x^2$과 선분 AB로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \int_a^b\{(a+b)x-ab-x^2\}\,dx=\Biggl[\frac{a+b}{2}x^2-abx-\frac{x^3}{3}\Biggr]_a^b=\frac{(b-a)^3}{6}=60$이므로 $\displaystyle (b-a)^3=360$이다.

또 직선 AB의 방정식은 $\displaystyle y-(a+b)x+ab=0$이고 점 $\displaystyle \mathrm{C}\left(\frac{a+b}{2},ab\right)$와 직선 $\displaystyle y-(a+b)x+ab=0$ 사이의 거리 $\displaystyle d$는$\displaystyle d=\frac{\left|ab-\frac{(a+b)^2}{2}+ab\right|}{\sqrt{1^2+(a+b)^2}}=\frac{(b-a)^2}{2\sqrt{1^2+(a+b)^2}}$이며,$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(b-a)^2+(b^2-a^2)^2}=(b-a)\sqrt{1^2+(b+a)^2}$이므로$\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}\times d}{2}=\frac{(b-a)^3}{4}=\frac{360}{4}=90$이다.