자연계열 4번

주어진 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 그래프로 둘러싸인 영역은 오른쪽 그림에서 $\displaystyle \mathrm{A}\cup\mathrm{B}\cup\mathrm{C}\cup\mathrm{E}$로 이루어진 영역과 같다. 그런데 $\displaystyle y=2^k\sqrt{-x}\ (x<0)$는 $\displaystyle y=\frac{x^2}{4^k}\ (x>0)$의 역함수 $\displaystyle y=2^k\sqrt{x}\ (x>0)$의 $\displaystyle y$축 대칭이므로, E 내부에 있는 격자점의 개수와 D 내부에 있는 격자점의 개수는 같다.

따라서 영역 $\displaystyle \mathrm{A}\cup\mathrm{B}\cup\mathrm{C}\cup\mathrm{D}$ (단, D의 왼쪽 경계와 아래 경계를 제외한 나머지 경계와 점 $\displaystyle (-4^k,4^k)$를 포함)에 있는 격자점의 개수를 $\displaystyle b_k$라 하고, 함수 $\displaystyle y=\frac{x^2}{4^k}$ ($\displaystyle 0\le x<4^k$)의 그래프에 있는 격자점의 개수를 $\displaystyle c_k$라 하면$\displaystyle a_k=b_k+c_k$이다. $\displaystyle b_k$를 점 $\displaystyle (-4^k,4^k)$와 영역 $\displaystyle \mathrm{A}\cup\mathrm{C}\cup\mathrm{D}$ (D의 왼쪽 경계와 아래 경계를 제외한 나머지 경계는 포함)와 영역 B (B의 왼쪽 경계를 제외한 나머지 경계 포함)에 있는 점들로 나누어서 생각하면$\displaystyle b_k=1+\sum_{i=0}^{4^k-1}(3\cdot4^k-2i)+\sum_{i=1}^{4^k}(2\cdot4^k-2i+1)=3\cdot16^k+4^k+1$이다. $\displaystyle c_k$는 $\displaystyle 0\le x<4^k$인 정수 중에서 $\displaystyle 2^k$로 나누어떨어지는 정수의 개수와 같다. 즉 $\displaystyle c_k$는 집합 $\displaystyle \{0\le x<2^k\mid x\text{는 정수}\}$의 원소의 개수이다. 따라서 $\displaystyle c_k=2^k$이고 $\displaystyle a_k=3\cdot16^k+4^k+2^k+1$이며$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n(3\cdot16^k+4^k+2^k+1)=\frac15\cdot16^{n+1}+\frac13\cdot4^{n+1}+2^{n+1}+n-\frac{98}{15}$이다.