자연계열 3번

(a) B에서 출발하였을 때, D에 도착할 확률을 $\displaystyle p_{BD}$라 하고, C에 도착할 확률을 $\displaystyle p_{BC}$라 하자. 그러면 $\displaystyle p_{BD}=1-p_{BC}$이다.

B를 출발하여, C에 도착하기 위해서는 위 그림의 E나 F를 지나야 한다. B → E → C의 경우는 E에 도달한 후, 반드시 C에 도착한다. 이러한 사건이 발생할 확률은 $\displaystyle \frac1{2^5}$이다. 또한, B → F → C의 경우는 F에 도달한 후, 동전의 앞면이 나와야 한다. 이러한 사건이 발생할 확률은 $\displaystyle \frac5{2^5}\times\frac12$이다. 따라서$\displaystyle p_{BC}=\frac1{2^5}+\frac5{2^6}=\frac7{64},\qquad p_{BD}=1-p_{BC}=\frac{57}{64}$이다.

(b) A를 출발하였을 때, C에 도착할 확률을 $\displaystyle p_{AC}$라 하자. A를 출발하였을 때, C에 도착하기 위해서는 위 그림의 E나 F를 지나야 한다. A를 출발하였을 때, E에 도착할 확률은 (a)번 문제와 같은 방법으로 계산하면 $\displaystyle \frac1{2^4}+\frac4{2^5}$이다. E에 도착한 후에는 반드시 C에 도착하므로, A → E → C의 경우가 발생할 확률은 $\displaystyle \frac6{32}$이다. 또한, A → F → C의 경우는 F에 도달한 후, 동전의 앞면이 나와야 한다. A를 출발했을 때, F에 도달할 확률은 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_2\frac1{2^5}$이므로, A → F → C의 경우가 발생할 확률은 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_2\frac1{2^6}=\frac{10}{64}$이다. 따라서 $\displaystyle p_{AC}=\frac6{32}+\frac{10}{64}=\frac{22}{64}$이다. 또한, 문제 (a)의 풀이에서, $\displaystyle p_{BC}=\frac7{64}$이다.

A, B에서 출발했을 확률이 각각 $\displaystyle \frac12$이므로 C에 도착했을 확률 $\displaystyle p_C$는 다음과 같다.$\displaystyle p_C=\frac12p_{AC}+\frac12p_{BC}=\frac{29}{128}$C에 도착했을 때, A에서 출발했을 확률은 $\displaystyle \frac12\cdot\frac{p_{AC}}{p_C}$이므로, 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{22}{29}$이다.