자연계열 1번

$\displaystyle |\cos3x|$와 $\displaystyle \left|\sin\dfrac{x}{2}\right|$는 주기가 각각 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$, $\displaystyle 2\pi$ 이므로 문제의 조건을 여러 번 적용하면$\displaystyle f(x+2k\pi)=f(x)+k\left(|\cos3x|+\left|\sin\frac{x}{2}\right|\right)\quad(\text{단},\ k\text{는 자연수})$이다. 이제 $\displaystyle A=\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx$라 두자.

$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\left(|\cos3x|+\left|\sin\frac{x}{2}\right|\right)dx=8$이므로

$\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{2n\pi}f(x)\,dx &=\sum_{k=1}^{n}\int_{2\pi(k-1)}^{2\pi k}f(x)\,dx=\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{2\pi}f(x+2\pi(k-1))\,dx=\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{2\pi}\left(f(x)+(k-1)\left(|\cos3x|+\left|\sin\frac{x}{2}\right|\right)\right)dx \\ &=\sum_{k=1}^{n}(A+8(k-1))=nA+4n(n-1) \end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\left(\dfrac{A}{2}+2(n-1)\right)$이며,

$\displaystyle \sum_{n=1}^{2024}a_{n}=\sum_{n=1}^{1012}a_{2n}+\sum_{n=1}^{1012}a_{2n-1}=\sum_{n=1}^{1012}\left(\frac{A}{2}+2(2n-1)\right)-\sum_{n=1}^{1012}\left(\frac{A}{2}+2(2n-2)\right)=\sum_{n=1}^{1012}2=2024.$