자연계열 2번

(a) 세 상자를 각각 상자 $\displaystyle 1$, 상자 $\displaystyle 2$, 상자 $\displaystyle 3$이라 하자. $\displaystyle i=1,2,3$에 대하여, 상자 $\displaystyle i$에 넣은 빨간 공의 수와 파란 공의 수를 각각 $\displaystyle x_{i}$, $\displaystyle y_{i}$라 하자. 각 상자에 빨간 공을 넣는 경우의 수는 아래 방정식의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.$\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=6$

또한, 각 상자에 파란 공을 넣는 경우의 수는 아래 방정식의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.$\displaystyle y_{1}+y_{2}+y_{3}=4$

위 두 방정식으로부터, 각 상자에 빨간 공을 넣는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{6}$이며, 각 상자에 파란 공을 넣는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{4}$이다. 따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{6}\cdot{}_{3}\mathrm{H}_{4}={}_{8}\mathrm{C}_{6}\cdot{}_{6}\mathrm{C}_{4}=28\cdot15=420$이다.

(b) $\displaystyle i=1,2,3$에 대하여, $\displaystyle z_{i}$를 상자 $\displaystyle i$에 넣은 빨간 공의 개수에서 파란 공의 개수를 뺀 값이라 하자. 즉 $\displaystyle z_{i}=x_{i}-y_{i}$이다. $\displaystyle z_{i}\ge0\ (i=1,2,3)$일 때 모든 상자에서 빨간 공의 개수가 파란 공의 개수보다 같거나 많다. 따라서 구하는 경우의 수는 아래 방정식의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.$\displaystyle \begin{aligned} y_{1}+y_{2}+y_{3}&=4 \\ z_{1}+z_{2}+z_{3}&=2 \end{aligned}$

위 첫 번째 방정식의 음이 아닌 정수해의 개수는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{4}$이며, 두 번째 방정식의 음이 아닌 정수해의 개수는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{2}$이다. 따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{4}\cdot{}_{3}\mathrm{H}_{2}={}_{6}\mathrm{C}_{4}\cdot{}_{4}\mathrm{C}_{2}=15\cdot6=90$이다.