자연계열 4번

(a) 두 초점을 $\displaystyle \mathrm{F}_{1}(0,\sqrt{3})$, $\displaystyle \mathrm{F}_{2}(0,-\sqrt{3})$라 하면점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$에 대하여$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PF}_{1}}=(-x,\sqrt{3}-y)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PF}_{2}}=(-x,-\sqrt{3}-y)$이다.두 초점까지의 거리를 각각 $\displaystyle u=\overline{\mathrm{PF}_{1}}$, $\displaystyle v=\overline{\mathrm{PF}_{2}}$라 하자.

점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 제1사분면에 있으므로쌍곡선의 정의에 의하여 $\displaystyle v-u=2$이다.또한 $\displaystyle y^{2}=\frac{x^{2}}{2}+1$이므로$\displaystyle \begin{aligned}u^{2}+v^{2}&=x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}+x^{2}+(y+\sqrt{3})^{2}\\&=2x^{2}+2y^{2}+6=3x^{2}+8\end{aligned}$이다.따라서 $\displaystyle 2uv=u^{2}+v^{2}-(v-u)^{2}=3x^{2}+4$이다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{PF}_{1}\mathrm{F}_{2}$에 코사인법칙을 적용하면$\displaystyle \cos\theta(x)=\frac{u^{2}+v^{2}-\overline{\mathrm{F}_{1}\mathrm{F}_{2}}^{2}}{2uv}=\frac{3x^{2}-4}{3x^{2}+4}$이므로$\displaystyle f(x)=3x^{2}-4$, $\displaystyle g(x)=3x^{2}+4$라 두면 된다.

(b) 주어진 조건에서 $\displaystyle u+v=8$이고,$\displaystyle v-u=2$이므로 $\displaystyle u=3$, $\displaystyle v=5$이다.

$\displaystyle 3x^{2}+4=2uv=30$이고,$\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle x=\sqrt{\frac{26}{3}}$이다.

$\displaystyle x_{0}=\sqrt{\frac{26}{3}}$이라 하면(a)에서 구한 식에 의하여 $\displaystyle \cos\theta(x_{0})=\frac{11}{15}$이다.$\displaystyle 0<\theta(x_{0})<\pi$이므로$\displaystyle \sin\theta(x_{0})=\sqrt{1-\left(\frac{11}{15}\right)^{2}}=\frac{2\sqrt{26}}{15}$이다.$\displaystyle \cos\theta(x)=\frac{3x^{2}-4}{3x^{2}+4}$의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle -\sin\theta(x)\,\theta^{\prime}(x)=\frac{48x}{(3x^{2}+4)^{2}}$이다.따라서 구하는 값은$\displaystyle \begin{aligned}\theta^{\prime}(x_{0})&=-\frac{48x_{0}}{(3x_{0}^{2}+4)^{2}\sin\theta(x_{0})}\\&=-\frac{48\sqrt{\frac{26}{3}}}{30^{2}}\cdot\frac{15}{2\sqrt{26}}=-\frac{2}{5\sqrt{3}}\end{aligned}$이다.