자연계열 1번

(a) $\displaystyle 12=2^{2}\times3$이므로 $\displaystyle 12$와 서로소인 수는 $\displaystyle 2$의 배수도 아니고 $\displaystyle 3$의 배수도 아니다. 임의의 자연수 $\displaystyle n$이 $\displaystyle 2$ 또는 $\displaystyle 3$의 배수가 아니면 어떤 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle n=6m+1$ 또는 $\displaystyle n=6m+5$의 형태로 표현된다. $\displaystyle 12$보다 큰 자연수만을 고려하므로 $\displaystyle a_{1}=13$, $\displaystyle a_{2}=17$이다. 따라서 $\displaystyle a_{2m-1}=6(m+1)+1$, $\displaystyle a_{2m}=6(m+1)+5$이다. $\displaystyle a_{2m-1}=6m+7\ge100$ 또는 $\displaystyle a_{2m}=6m+11\ge100$을 만족하려면 $\displaystyle m\ge15$이다. $\displaystyle a_{29}=6\times15+7=97$, $\displaystyle a_{30}=6\times15+11=101$이므로 $\displaystyle a_{k}\ge100$을 만족하는 $\displaystyle k$의 최솟값은 $\displaystyle 30$이다.

(b) (a)에 의하여 $\displaystyle a_{2m-1}=6m+7$, $\displaystyle a_{2m}=6m+11$이므로$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{2n}(a_{k}a_{k+1}-a_{k+2}) &=\sum_{m=1}^{n}\{(a_{2m-1}a_{2m}-a_{2m+1})+(a_{2m}a_{2m+1}-a_{2m+2})\} \\ &=\sum_{m=1}^{n}\{(6m+7)(6m+11)-(6m+13)+(6m+11)(6m+13)-(6m+17)\} \\ &=\sum_{m=1}^{n}(72m^{2}+240m+190) \end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{m=1}^{n}(72m^{2}+240m+190) \\ &=72\sum_{m=1}^{n}m^{2}+240\sum_{m=1}^{n}m+190n \\ &=72\times\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+240\times\frac{n(n+1)}{2}+190n \\ &=2n(12n^{2}+78n+161) \end{aligned}$이다.