자연계열 3번

(a) 시립이가 버튼을 한 번 눌러서 승리하는 경우는 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다.

(i) 서울이가 소유한 영역(■)과 한 모서리를 공유하는 영역(⊠)이 $\displaystyle 2$개인 경우그림과 같이 위 조건을 만족하는 영역은 $\displaystyle 4$개이므로 시립이가 승리할 경우의 수는 $\displaystyle 4\times2=8$이다.

(ii) 서울이가 소유한 영역(■)과 한 모서리를 공유하는 영역(⊠)이 $\displaystyle 3$개인 경우그림과 같이 위 조건을 만족하는 영역은 $\displaystyle 4\times(n-2)$개이므로 시립이가 승리할 경우의 수는 $\displaystyle 4(n-2)\times3$이다.

(iii) 서울이가 소유한 영역(■)과 한 모서리를 공유하는 영역(⊠)이 $\displaystyle 4$개인 경우그림과 같이 위 조건을 만족하는 영역은 $\displaystyle (n-2)^{2}$개이므로 시립이가 승리할 경우의 수는 $\displaystyle (n-2)^{2}\times4$이다.

따라서 확률의 덧셈정리에 의해 구하는 확률은 $\displaystyle \dfrac{8}{n^{2}(n^{2}-1)}+\dfrac{12(n-2)}{n^{2}(n^{2}-1)}+\dfrac{4(n-2)^{2}}{n^{2}(n^{2}-1)}=\dfrac{4}{n(n+1)}$이다.

(b) 서울이가 버튼을 두 번 눌러서 승리하려면, 시립이가 버튼을 한 번 눌러서 승리하지 않아야 한다. (a)와 같은 방법으로 다음과 같이 경우를 나누어 생각할 수 있다.

(i) 시립이가 소유한 영역과 한 모서리를 공유하는 영역이 $\displaystyle 2$개인 경우위 조건을 만족하는 영역은 $\displaystyle 4$개다. 이때 서울이가 첫 번째로 소유한 영역은 시립이가 소유한 영역이 아니면서 시립이가 소유한 영역과 모서리를 공유하지 않는 $\displaystyle n^{2}-3$개의 영역 중 하나여야 한다. 또한 서울이가 두 번째로 소유하는 영역이 시립이가 소유한 영역과 한 모서리를 공유하는 $\displaystyle 2$개의 영역 중 하나여야 한다. 따라서 서울이가 버튼을 두 번 눌러서 승리할 경우의 수는 $\displaystyle 4\times(n^{2}-3)\times2=8(n^{2}-3)$이다.

(ii) 시립이가 소유한 영역과 한 모서리를 공유하는 영역이 $\displaystyle 3$개인 경우(i)과 같은 방법으로 계산하면 서울이가 버튼을 두 번 눌러서 승리할 경우의 수는 $\displaystyle 4(n-2)\times(n^{2}-4)\times3=12(n-2)^{2}(n+2)$이다.

(iii) 시립이가 소유한 영역과 한 모서리를 공유하는 영역이 $\displaystyle 4$개인 경우(i)과 같은 방법으로 계산하면 서울이가 버튼을 두 번 눌러서 승리할 경우의 수는 $\displaystyle (n-2)^{2}\times(n^{2}-5)\times4=4(n-2)^{2}(n^{2}-5)$이다.

따라서 확률의 덧셈정리에 의해 구하는 확률은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{8(n^{2}-3)}{n^{2}(n^{2}-1)(n^{2}-2)}+\frac{12(n-2)^{2}(n+2)}{n^{2}(n^{2}-1)(n^{2}-2)}+\frac{4(n-2)^{2}(n^{2}-5)}{n^{2}(n^{2}-1)(n^{2}-2)}=\frac{4(n^{4}-n^{3}-5n^{2}+8n-2)}{n^{2}(n^{2}-1)(n^{2}-2)}$