자연계열 2번

선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$의 중점을 $\displaystyle \mathrm{P}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{EH}$의 중점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$라 할 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$의 길이를 $\displaystyle p$라 하면, $\displaystyle p^{2}+\left\{\dfrac{(a+2)-a}{2}\right\}^{2}=b^{2}$이므로 $\displaystyle p=\sqrt{b^{2}-1}$이다.선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 중점을 $\displaystyle \mathrm{R}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{FG}$의 중점을 $\displaystyle \mathrm{S}$라 할 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{RS}$의 길이를 $\displaystyle q$라 하면, $\displaystyle q^{2}+\left\{\dfrac{(a+2)-a}{2}\right\}^{2}=c^{2}$이므로 $\displaystyle q=\sqrt{c^{2}-1}$이다.

그림과 같이 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$를 포함하고 평면 $\displaystyle \mathrm{BFGC}$와 평행한 평면 $\displaystyle \mathrm{AF^{\prime}G^{\prime}D}$를 생각하자. 이때 선분 $\displaystyle \mathrm{F^{\prime}G^{\prime}}$의 중점을 $\displaystyle \mathrm{S^{\prime}}$이라 하고 각 $\displaystyle \mathrm{QPS^{\prime}}$의 크기를 $\displaystyle \theta$라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQS^{\prime}}$에서 코사인법칙에 의해$\displaystyle \{(a+2)-a\}^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq\cos\theta$이므로 $\displaystyle \cos\theta=\dfrac{p^{2}+q^{2}-4}{2pq}=\dfrac{b^{2}+c^{2}-6}{2pq}\ge0$이다. 따라서 $\displaystyle 0<\theta\le\dfrac{\pi}{2}$이다. 또한 각 $\displaystyle \mathrm{APQ}$와 각 $\displaystyle \mathrm{APS^{\prime}}$은 직각이므로 두 평면 $\displaystyle \mathrm{AEHD}$와 $\displaystyle \mathrm{BFGC}$가 이루는 각의 크기는 $\displaystyle \theta$와 같다.

사각형 $\displaystyle \mathrm{AEHD}$는 사다리꼴이므로 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{2}p(a+a+2)=p(a+1)$이다. 따라서 사각형 $\displaystyle \mathrm{AEHD}$의 평면 $\displaystyle \mathrm{BFGC}$ 위로의 정사영의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned} (\text{사각형 }\mathrm{AEHD}\text{의 넓이})\times\cos\theta &=p(a+1)\times\frac{b^{2}+c^{2}-6}{2pq} \\ &=\frac{(a+1)(b^{2}+c^{2}-6)}{2\sqrt{c^{2}-1}} \end{aligned}$이다.