자연계열 3번

(ⅰ) 두 번 만에 끝나는 경우$\displaystyle m_{1}+m_{2}=10$이어야 하고 $\displaystyle 1\le m_{1},m_{2}\le6$이므로$\displaystyle (m_{1},m_{2})=(4,6),\ (5,5),\ (6,4)$의 3가지이다.

(ⅱ) 세 번 만에 끝나는 경우두 번째 시행에서 끝나지 않아야 하므로 $\displaystyle m_{1}+m_{2}\ne10$이고, $\displaystyle f_{2}+m_{3}=10$이어야 한다.

(가) 두 번째 시행에 규칙 1이 적용된 경우, 곧 $\displaystyle m_{1}+m_{2}<10$인 경우$\displaystyle f_{2}=m_{1}+m_{2}$이므로 조건은 $\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=10$이 된다.$\displaystyle m_{3}\ge1$에서 $\displaystyle m_{1}+m_{2}\le9$가 저절로 따라오므로 $\displaystyle m_{1}+m_{2}<10$은 따로 확인할 것이 없다.$\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=10$의 자연수해는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{7}={}_{9}\mathrm{C}_{7}=36$개이고,이 중 7 이상인 눈이 하나 있는 것은 그 눈에서 6을 뺀 $\displaystyle m_{1}^{\prime}+m_{2}+m_{3}=4$의 자연수해와 일대일 대응하므로 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3$개씩,어느 자리인지에 따라 $\displaystyle 3\times3=9$개다(두 눈이 동시에 7 이상이면 합이 14를 넘어 불가능하다).따라서 $\displaystyle 36-9=27$가지이다.

(나) 두 번째 시행에 규칙 2가 적용된 경우, 곧 $\displaystyle m_{1}+m_{2}>10$인 경우$\displaystyle f_{2}=20-(m_{1}+m_{2})$이므로$\displaystyle m_{1}+m_{2}=11$이면 $\displaystyle f_{2}=9$, $\displaystyle (m_{1},m_{2})=(5,6),(6,5)$의 2가지이고 $\displaystyle m_{3}=1$이다.$\displaystyle m_{1}+m_{2}=12$이면 $\displaystyle f_{2}=8$, $\displaystyle (m_{1},m_{2})=(6,6)$의 1가지이고 $\displaystyle m_{3}=2$이다.따라서 3가지이다.

(ⅰ), (ⅱ)를 더하면 구하는 경우의 수는$\displaystyle 3+(27+3)=33$

$\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=10$의 자연수해는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{H}_{6}={}_{9}\mathrm{C}_{6}=84$개이고,이 중 7 이상인 눈이 하나 있는 것은 그 눈에서 6을 뺀 $\displaystyle m_{1}^{\prime}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=4$의 자연수해와 일대일 대응하므로 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{3}=1$개씩,어느 자리인지에 따라 $\displaystyle 1\times4=4$개다.따라서 구하는 경우의 수는$\displaystyle 84-4=80$

(ⅰ) 규칙 2가 한 번도 적용되지 않는 경우[3-2]에서 구한 80가지이다.

(ⅱ) 두 번째 시행에만 규칙 2가 적용되는 경우$\displaystyle m_{1}+m_{2}>10$에서 $\displaystyle f_{2}=20-(m_{1}+m_{2})$은 8 또는 9이다.세 번째 시행에 규칙 1이 적용되어야 하므로 $\displaystyle f_{2}+m_{3}<10$인데, $\displaystyle f_{2}=9$이면 $\displaystyle m_{3}\ge1$에서 이를 만족할 수 없다.따라서 $\displaystyle f_{2}=8$, 곧 $\displaystyle (m_{1},m_{2})=(6,6)$이고 $\displaystyle m_{3}=1$이어야 하며, 이때 $\displaystyle f_{3}=9$이므로 $\displaystyle m_{4}=1$이다.따라서 1가지이다.

(ⅲ) 세 번째 시행에만 규칙 2가 적용되는 경우$\displaystyle f_{2}=m_{1}+m_{2}<10$이고 $\displaystyle f_{2}+m_{3}>10$이므로 $\displaystyle f_{3}=20-(f_{2}+m_{3})$이고$\displaystyle m_{4}=10-f_{3}=f_{2}+m_{3}-10$이다. $\displaystyle f_{2}\le9$, $\displaystyle m_{3}\le6$에서 $\displaystyle m_{4}\le5$이므로 $\displaystyle m_{4}\le6$은 저절로 만족되고, 남는 조건은 $\displaystyle f_{2}+m_{3}\ge11$뿐이다.$\displaystyle f_{2}=s$일 때 $\displaystyle m_{3}$는 $\displaystyle 11-s$부터 6까지 $\displaystyle s-4$개이고,합이 $\displaystyle s$인 $\displaystyle (m_{1},m_{2})$의 개수는 $\displaystyle s=5,6,7,8,9$에 대하여 차례로 4, 5, 6, 5, 4이므로$\displaystyle 4\times1+5\times2+6\times3+5\times4+4\times5=72$가지이다.

(ⅳ) 두 번째와 세 번째 시행에 모두 규칙 2가 적용되는 경우$\displaystyle f_{2}=9$이면 $\displaystyle (m_{1},m_{2})$는 2가지이고, $\displaystyle 9+m_{3}>10$에서 $\displaystyle m_{3}\ge2$이며 $\displaystyle f_{3}=11-m_{3}$, $\displaystyle m_{4}=m_{3}-1$이므로 $\displaystyle m_{3}=2,3,\cdots,6$의 5가지이다.$\displaystyle f_{2}=8$이면 $\displaystyle (m_{1},m_{2})$는 1가지이고, $\displaystyle 8+m_{3}>10$에서 $\displaystyle m_{3}\ge3$이며 $\displaystyle f_{3}=12-m_{3}$, $\displaystyle m_{4}=m_{3}-2$이므로 $\displaystyle m_{3}=3,4,5,6$의 4가지이다.따라서 $\displaystyle 2\times5+1\times4=14$가지이다.

(ⅰ)~(ⅳ)를 더하면 구하는 경우의 수는$\displaystyle 80+1+72+14=167$