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자연계열 1번

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연세대 신촌캠퍼스 2022학년도 수시 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2022su/jayeon_1

배점8점
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문제

[문제1] 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 a\displaystyle a라 하자. x\displaystyle x축, y\displaystyle y축 및 직선 x+y=a\displaystyle x+y=a로 둘러싸인 직각이등변삼각형에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문제1-1] 직각이등변삼각형의 빗변 위의 점들 중 x\displaystyle x좌표와 y\displaystyle y좌표가 모두 음이 아닌 정수인 점들의 개수를 확률변수 X\displaystyle X라 할 때, E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)의 값을 구하시오. [4점]

[문제1-2] 직각이등변삼각형의 둘레 또는 내부에 있는 점들 중 x\displaystyle x좌표와 y\displaystyle y좌표가 모두 음이 아닌 정수인 점들의 개수를 확률변수 Y\displaystyle Y라 할 때, E(Y)\displaystyle \mathrm{E}(Y)의 값을 구하시오. [4점]

이산확률분포

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+2점 · [1-1] 빗변 위의 격자점의 개수를 구한다.

[문제 1-1] 나온 눈의 수를 a\displaystyle a라 하면빗변 위의 격자점은 (0,a),(1,a−1),…,(a,0)\displaystyle (0,a),(1,a-1),\ldots,(a,0)이므로X=a+1\displaystyle X=a+1이다.

+2점 · [1-1] 기댓값을 올바르게 계산한다.

각 눈이 나올 확률은 16\displaystyle \frac16이므로E(X)=16∑a=16(a+1)=92\displaystyle \mathrm E(X)=\frac16\sum_{a=1}^{6}(a+1)=\frac92이다.

+2점 · [1-2] 둘레와 내부의 격자점의 개수를 구한다.

[문제 1-2] x=j\displaystyle x=j인 격자점의 개수는 a−j+1\displaystyle a-j+1이므로Y=∑j=0a(a−j+1)=(a+1)(a+2)2\displaystyle Y=\sum_{j=0}^{a}(a-j+1)=\frac{(a+1)(a+2)}2이다.

+2점 · [1-2] 기댓값을 올바르게 계산한다.

따라서E(Y)=3+6+10+15+21+286=836\displaystyle \mathrm E(Y)=\frac{3+6+10+15+21+28}{6}=\frac{83}{6}이다.

다른 타당한 풀이도 해당 단계의 논증과 계산이 옳으면 같은 배점을 인정한다.

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