자연계열 2번

[문제 2-1] 주어진 부등식에서 $\displaystyle a_{n+1}<a_n$이다.두 곡선의 높이의 차를$\displaystyle F(x)=\ln(1+x)-\sqrt{\frac{x^2}{a_{n+1}^2}-1}$이라 하면$\displaystyle F(a_{n+1})=\ln(1+a_{n+1})>0$이다.또한 $\displaystyle \frac{a_n^2}{a_{n+1}^2}-1\ge a_n^2$이므로$\displaystyle F(a_n)\le\ln(1+a_n)-a_n<0$이다.

$\displaystyle F$는 $\displaystyle [a_{n+1},a_n]$에서 연속이므로사잇값 정리에 의해 그 사이에서 $\displaystyle F(x)=0$인 점이 존재한다.두 곡선의 교점은 하나뿐이므로$\displaystyle a_{n+1}<b_n<a_n$이다.

[문제 2-2] $\displaystyle c_n=\left(1+\frac1n\right)^n$이라 하면제시문 2에서 $\displaystyle c_n\le c_{n+1}$이고,$\displaystyle c_{n+1}>1$이므로$\displaystyle \frac1{a_{n+1}^2}-\frac1{a_n^2}=(n+1)c_{n+1}-nc_n\ge c_{n+1}>1$이다.따라서 [문제 2-1]을 적용할 수 있다.$\displaystyle c_n\to e$이므로$\displaystyle \sqrt n\,a_n\to\frac1{\sqrt e},\qquad \sqrt n\,a_{n+1}\to\frac1{\sqrt e}$이고,대소 관계에 의해 $\displaystyle \sqrt n\,b_n\to\frac1{\sqrt e}$이다.특히 $\displaystyle b_n\to0$이다.

따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt n\ln(1+b_n)=\lim_{n\to\infty}\sqrt n\,b_n\frac{\ln(1+b_n)}{b_n}=\frac1{\sqrt e}$이다.