자연계열 4번

[문제 4-1] 한 내부 꼭짓점에서 세 내각의 합은 $\displaystyle 360^\circ$이고,각 내각은 $\displaystyle 45^\circ,90^\circ,135^\circ$ 중 하나이므로세 내각은 $\displaystyle 90^\circ,135^\circ,135^\circ$이다.따라서 좌표축에 평행한 두 벡터를 $\displaystyle (\varepsilon,0),(0,\delta)$라 하면나머지 벡터는 $\displaystyle (-\varepsilon,-\delta)$이다.여기서 $\displaystyle \varepsilon,\delta$는 각각 $\displaystyle 1$ 또는 $\displaystyle -1$이므로가능한 네 경우 모두$\displaystyle (\varepsilon,0)+(0,\delta)+(-\varepsilon,-\delta)=(0,0)$이다.

[문제 4-2] 모든 내부 꼭짓점에서 바깥으로 향하는 세 벡터를 더하면[문제 4-1]에 의해 합은 영벡터이다.양 끝점이 모두 내부에 있는 선분에서는 두 끝점에서 얻는 벡터가 서로 반대이므로상쇄된다.남는 벡터는 내부에서 경계로 향하는 경계벡터뿐이므로모든 경계벡터의 합은 영벡터이다.

[문제 4-3] $\displaystyle \mathrm{OA},\mathrm{OB},\mathrm{AB}$ 위의 경계벡터는 각각$\displaystyle (0,-1),(-1,0),(1,1)$이다.그 개수를 차례로 $\displaystyle l,m,n$이라 하면$\displaystyle l(0,-1)+m(-1,0)+n(1,1)=(n-m,n-l)=(0,0)$이므로$\displaystyle l=m=n$이다.각 변은 경계점에 의해 각각 $\displaystyle l+1,m+1,n+1$개의 구간으로 나뉘고,각 구간은 그 변과 만나는 다각형 하나에 대응하므로세 변과 만나는 다각형의 개수는 모두 같다.