자연계열 4번

[문제4] 세 점 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0)$, $\displaystyle \mathrm{A}(2022,0)$, $\displaystyle \mathrm{B}(0,2022)$를 꼭짓점으로 하는 직각이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 내부 및 둘레에 다음 조건을 만족하도록 여러 개의 선분을 그어 그 선분을 변으로 하는 유한 개의 다각형을 만든다고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 양 끝점 중 적어도 한 개의 점이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 내부에 있는 선분은 두 다각형의 변이 되고, 두 끝점이 모두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 둘레에 있는 선분은 오직 한 다각형의 변이 된다.)

[문제4-1] <그림 2>와 같이 다각형의 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{V}$가 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 내부에 있을 때, 점 $\displaystyle \mathrm{V}$에서 점 $\displaystyle \mathrm{V}$와 선분으로 연결된 세 점으로 향하는 벡터와 방향이 같은 세 개의 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{u_{1}}$, $\displaystyle \overrightarrow{u_{2}}$, $\displaystyle \overrightarrow{u_{3}}$가 있다. 가능한 모든 세 개의 벡터에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{u_{1}}+\overrightarrow{u_{2}}+\overrightarrow{u_{3}}=\overrightarrow{0}$임을 보이시오. (단, 세 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{u_{1}}$, $\displaystyle \overrightarrow{u_{2}}$, $\displaystyle \overrightarrow{u_{3}}$의 성분은 $\displaystyle -1$ 또는 $\displaystyle 0$ 또는 $\displaystyle 1$이다.) [5점]

[문제4-2] 다각형의 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 둘레에 있고 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 선분으로 연결된 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 내부에 있을 때, 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QP}}$와 방향이 같은 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{u}$를 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에 대한 경계벡터라 하자. 모든 경계벡터의 합이 $\displaystyle \overrightarrow{0}$임을 보이시오. (단, 경계벡터 $\displaystyle \overrightarrow{u}$의 성분은 $\displaystyle -1$ 또는 $\displaystyle 0$ 또는 $\displaystyle 1$이다.) [7점]

[문제4-3] 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 각각 만나는 다각형의 개수가 모두 같음을 보이시오. (예를 들어, <그림 2>에서 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 각각 만나는 다각형의 개수는 모두 $\displaystyle 5$이다.) [6점]