자연계열 2번

[문제 2-1] $\displaystyle f(x)>6$을 정리하면$\displaystyle (4x-3)(3x-1)(3x+1)>0$이다.$\displaystyle 0\le x\le1$에서 해는 $\displaystyle 0\le x<\frac13$ 또는 $\displaystyle \frac34<x\le1$이므로$\displaystyle g(6)=\frac13+1-\frac34=\frac7{12}$이다.

[문제 2-2] $\displaystyle f^{\prime}(x)=24\left(x-\frac16\right)\left(x-\frac34\right)$이므로끝점과 극값을 비교하면 $\displaystyle [0,1]$에서의 최솟값은 $\displaystyle f\left(\frac34\right)=\frac{71}{16}$이다.$\displaystyle t$가 이 값보다 크면 $\displaystyle f(x)\le t$인 구간이 생기고,같으면 한 점만 빠져 길이에 영향을 주지 않으므로$\displaystyle t\le\frac{71}{16}$이다.

[문제 2-3] $\displaystyle f(x)>t$이려면 $\displaystyle ax>t$와 $\displaystyle bx+c>t$가 모두 성립해야 하므로$\displaystyle \frac ta<x<\frac{t-c}{b}$이다.이 구간과 $\displaystyle [0,1]$의 공통부분의 길이를 구하면된다.두 직선의 교점의 높이를 $\displaystyle h=\frac{ac}{a-b}$라 하면다음 네 경우로 나뉜다.(i) $\displaystyle c\le0$일 때$\displaystyle g(t)=\begin{cases}1&(t\le b+c)\\\frac{t-c}{b}&(b+c<t<c)\\0&(t\ge c)\end{cases}$(ii) $\displaystyle c\ge a-b$일 때$\displaystyle g(t)=\begin{cases}1&(t\le0)\\1-\frac ta&(0<t<a)\\0&(t\ge a)\end{cases}$(iii) $\displaystyle 0<c<a-b$이고$\displaystyle b+c\ge0$일 때$\displaystyle g(t)=\begin{cases}1&(t\le0)\\1-\frac ta&(0<t\le b+c)\\\frac{t-c}{b}-\frac ta&(b+c<t<h)\\0&(t\ge h)\end{cases}$(iv) $\displaystyle 0<c<a-b$이고$\displaystyle b+c<0$일 때$\displaystyle g(t)=\begin{cases}1&(t\le b+c)\\\frac{t-c}{b}&(b+c<t\le0)\\\frac{t-c}{b}-\frac ta&(0<t<h)\\0&(t\ge h)\end{cases}$각 그래프는 아래와 같다.

[문제 2-4] $\displaystyle 0\le x\le1$에서$\displaystyle 0\le f(x)=|a|(x-b)|x-c|<10\cdot11\cdot1=110<2023$이다.$\displaystyle 0\le t<f(x)$인 영역을 수평으로 자르면 그 길이가 $\displaystyle g(t)$이고,수직으로 자르면 그 길이가 $\displaystyle f(x)$이므로$\displaystyle \int_0^{2023}g(t)\,dt=\int_0^1f(x)\,dx$이다.

$\displaystyle x-b>0$이고$\displaystyle a<0$이므로$\displaystyle 0\le x\le c$에서는 $\displaystyle f(x)=a(x-b)(x-c)$이고,$\displaystyle c\le x\le1$에서는 $\displaystyle f(x)=-a(x-b)(x-c)$이다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{2023}g(t)\,dt&=\int_0^ca(x-b)(x-c)\,dx-\int_c^1a(x-b)(x-c)\,dx\\&=-a\left(\frac{c^3}{3}-bc^2+bc-\frac b2-\frac c2+\frac13\right)\end{aligned}$이다.