자연계열 1번

[문제1-1]$\displaystyle n$번째 버튼은 수험번호가 $\displaystyle n$의 약수인 학생들만 누른다.$\displaystyle 2023=7\times 17^{2}$이므로, $\displaystyle 2023$의 약수의 개수는 $\displaystyle (1+1)\times(2+1)=6$이다.따라서 총 $\displaystyle 6$번 눌린다.

[문제1-2]전등이 켜져 있기 위해서는 버튼을 홀수 번 눌러야 한다.$\displaystyle n=1$인 경우 약수는 $\displaystyle 1$개뿐이다.$\displaystyle n\ge 2$인 경우 $\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\times\cdots\times p_{m}^{k_{m}}$으로 소인수분해 되면약수의 개수는 $\displaystyle (k_{1}+1)\times\cdots\times(k_{m}+1)$이므로약수의 개수가 홀수이려면 $\displaystyle k_{1},\cdots,k_{m}$이 모두 짝수여야 하므로$\displaystyle n$이 제곱수여야 한다.$\displaystyle 44^{2}<2023<45^{2}$이므로 $\displaystyle 2023$ 이하의 제곱수는 $\displaystyle 1$을 포함하여 모두 $\displaystyle 44$개 있다.

$\displaystyle n$번째 전등의 버튼이 세 번 눌러지기 위해서는$\displaystyle n$의 약수의 개수가 $\displaystyle 3$이어야 하는데이는 $\displaystyle n=p^{2}$, 즉 소수의 제곱인 경우다.$\displaystyle 44$ 이하의 소수는 $\displaystyle 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43$으로 모두 $\displaystyle 14$개다.따라서, 켜져 있는 전등이 $\displaystyle 3$번 눌렸을 확률은 $\displaystyle \frac{14}{44}=\frac{7}{22}$이다.

[문제 1-3] 먼저 $\displaystyle 1$번부터 $\displaystyle 2021$번까지의 전등을 생각하자.앞서 [문제 1-2]에서 알 수 있듯이, $\displaystyle 1$번부터 $\displaystyle 2021$번까지의 학생이 모두 지나가면 제곱수인 번호의 전등 $\displaystyle 44$개만 켜진다.같은 버튼을 두 번 누르면 처음 상태로 돌아오고,버튼을 누르는 순서는 결과에 영향을 주지 않는다.따라서 이 상태에서 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$의 배수인 전등을 차례로 한 번씩 더 누르면$\displaystyle 4$번부터 $\displaystyle 2021$번까지의 학생만 지나간 상태가 된다.

$\displaystyle 2022=2\times3\times337$의 약수는 $\displaystyle 8$개이고,이 중 $\displaystyle 1,2,3,2022$를 제외한 $\displaystyle 4$개의 번호를 가진 학생이 버튼을 누르므로$\displaystyle 2022$번 전등은 꺼져 있다.$\displaystyle 2023=7\times17^{2}$의 약수는 $\displaystyle 6$개이고,이 중 $\displaystyle 1,2023$을 제외한 $\displaystyle 4$개의 번호를 가진 학생이 버튼을 누르므로$\displaystyle 2023$번 전등도 꺼져 있다.따라서 구하는 확률은$\displaystyle \frac{1010}{2023}$이다.