자연계열 3번

연세대 신촌캠퍼스 2023학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2023su/jayeon_3

[제시문 3] 좌표평면의 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 를 지나고 기울기가 $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle -m$ 인 (단, $\displaystyle m\ge 1$ ) 직선을 각각 $\displaystyle \ell_{1}$ 과 $\displaystyle \ell_{2}$ 라 하자. 직선 $\displaystyle \ell_{1}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_{1},y_{1})$ 과 직선 $\displaystyle \ell_{2}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{2},y_{2})$ 가 조건 $\displaystyle x_{1}\ge 0$ , $\displaystyle x_{2}\ge 0$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=1$ 을 모두 만족하며 움직인다. 다음 물음에 답하시오.

원점을 지나는 두 직선 l_1(오른쪽 위로), l_2(오른쪽 아래로) 위에 각각 점 P와 Q가 있고, 선분 PQ의 중점 M이 표시되어 있다. 삼각형 POQ에 내접하는 원 C_1과 원점 근처의 작은 원 C_2, 세로 직선 l_3이 함께 그려져 있다.

[문제 3-1] 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 의 중점 $\displaystyle \mathrm{M}(x,y)$ 가 나타내는 도형의 방정식을 구하시오. [4점]

[문제 3-2] 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 가 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 에서 출발하여 일정한 속도 $\displaystyle (1,-m)$ 으로 직선 $\displaystyle \ell_{2}$ 위를 움직일 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}=\frac{1}{2}$ 이 되는 순간에 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도를 구하시오. [6점]

[문제 3-3] $\displaystyle m=\frac{\sqrt{15}}{3}$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}=\frac{1}{2}$ 일 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{POQ}$ 에 내접하는 원을 $\displaystyle C_{1}$ 이라 하자. 이때, 원 $\displaystyle C_{1}$ 과 $\displaystyle x$ 축이 만나는 두 점 중 원점에 더 가까운 점을 지나고 $\displaystyle y$ 축과 평행한 직선을 $\displaystyle \ell_{3}$ 이라 하자. 이때, 직선 $\displaystyle \ell_{1}$ , $\displaystyle \ell_{2}$ , $\displaystyle \ell_{3}$ 이 만드는 삼각형에 내접하는 원을 $\displaystyle C_{2}$ 라고 하자. 원 $\displaystyle C_{1}$ 의 중심과 원 $\displaystyle C_{2}$ 의 중심 사이의 거리를 구하시오. [9점]

해설강의 준비중

타원

삼각함수의 덧셈정리

속도와 거리

관련 개념강의 준비중

연세대 신촌캠퍼스 2023학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2023su/jayeon_3

+4점 · [3-1] 중점이 나타내는 도형의 방정식과 범위를 구한다.

[문제 3-1] $\displaystyle \mathrm P(s,ms)$ , $\displaystyle \mathrm Q(t,-mt)$ 라 하면 $\displaystyle s,t\ge0$ 이고,중점의 좌표는 $\displaystyle x=\frac{s+t}{2}$ , $\displaystyle y=\frac{m(s-t)}2$ 이다.따라서 $\displaystyle s=x+\frac ym$ , $\displaystyle t=x-\frac ym$ 이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=1$ 에서 $\displaystyle 4m^2x^2+\frac4{m^2}y^2=1,\qquad -mx\le y\le mx$ 를 얻는다.반대로 이 조건을 만족하는 점에서는 $\displaystyle s,t\ge0$ 인 두 점을 복원할 수 있으므로이 식과 범위가 구하는 도형이다.

+3점 · [3-2] 운동 조건을 반영하여 좌표나 속도에 관한 관계식을 구한다.

[문제 3-2] $\displaystyle \mathrm Q(t,-mt)$ , $\displaystyle \mathrm P(s,ms)$ 라 하면 $\displaystyle (s-t)^2+m^2(s+t)^2=1$ 이다. $\displaystyle M=1+m^2$ , $\displaystyle D=\sqrt{1+m^2+m^4}$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}=\frac12$ 인 순간에는 $\displaystyle t=\frac1{2\sqrt M},\qquad s=\frac{1-m^2+2D}{2M\sqrt M}$ 이다.

+3점 · [3-2] 해당 순간의 속도를 올바르게 구한다.

거리 관계식을 $\displaystyle t$ 로 미분하면 $\displaystyle \{(1+m^2)s+(m^2-1)t\}\frac{ds}{dt}+(m^2-1)s+(1+m^2)t=0$ 이다.위의 값을 대입하면 $\displaystyle v=\frac{ds}{dt}=\frac1{1+m^2}\left(1-m^2-\frac{2m^2}{\sqrt{1+m^2+m^4}}\right)$ 이므로점 $\displaystyle \mathrm P$ 의 속도는 $\displaystyle (v,mv)$ 이다.

+5점 · [3-3] 두 원의 위치나 크기를 결정하는 데 필요한 길이를 구한다.

[문제 3-3] $\displaystyle \ell_1$ 과 $\displaystyle x$ 축이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$ 라 하면 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt{10}}4,\qquad \cos\theta=\frac{\sqrt6}4,\qquad \sin2\theta=\frac{\sqrt{15}}4$ 이다.[문제 3-2]의 거리 관계식에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\frac34$ 이므로삼각형의 넓이와 반둘레를 이용하면 $\displaystyle C_1$ 의 반지름은 $\displaystyle R=\frac{\frac12\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt{15}}4}{\frac12(\frac34+\frac12+1)}=\frac{\sqrt{15}}{24}$ 이다.

+4점 · [3-3] 두 중심의 관계를 설명하고 거리를 올바르게 구한다.

두 원의 중심은 각의 이등분선인 $\displaystyle x$ 축 위에 있다.원점에서 $\displaystyle C_1$ 의 중심까지의 거리를 $\displaystyle d_1$ 이라 하면 $\displaystyle d_1\sin\theta=R$ 이고, $\displaystyle \ell_3$ 의 방정식은 $\displaystyle x=d_1-R$ 이다.원점에서 $\displaystyle C_2$ 의 중심까지의 거리를 $\displaystyle d_2$ , 반지름을 $\displaystyle r$ 이라 하면 $\displaystyle r=d_2\sin\theta=d_1-R-d_2$ 이므로 $\displaystyle r=R\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$ 이다.두 원은 $\displaystyle \ell_3$ 의 양쪽에서 접하므로중심 사이의 거리는 $\displaystyle R+r=\frac{2R}{1+\sin\theta}=\frac{2\sqrt{15}}9-\frac{5\sqrt6}{18}$ 이다.

다른 타당한 풀이도 해당 단계의 논증과 계산이 옳으면 같은 배점을 인정한다.

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