자연계열 3번

[문제 3-1] $\displaystyle \mathrm P(s,ms)$, $\displaystyle \mathrm Q(t,-mt)$라 하면$\displaystyle s,t\ge0$이고,중점의 좌표는 $\displaystyle x=\frac{s+t}{2}$, $\displaystyle y=\frac{m(s-t)}2$이다.따라서 $\displaystyle s=x+\frac ym$, $\displaystyle t=x-\frac ym$이고,$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=1$에서$\displaystyle 4m^2x^2+\frac4{m^2}y^2=1,\qquad -mx\le y\le mx$를 얻는다.반대로 이 조건을 만족하는 점에서는 $\displaystyle s,t\ge0$인 두 점을 복원할 수 있으므로이 식과 범위가 구하는 도형이다.

[문제 3-2] $\displaystyle \mathrm Q(t,-mt)$, $\displaystyle \mathrm P(s,ms)$라 하면$\displaystyle (s-t)^2+m^2(s+t)^2=1$이다.$\displaystyle M=1+m^2$, $\displaystyle D=\sqrt{1+m^2+m^4}$라 하면$\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}=\frac12$인 순간에는$\displaystyle t=\frac1{2\sqrt M},\qquad s=\frac{1-m^2+2D}{2M\sqrt M}$이다.

거리 관계식을 $\displaystyle t$로 미분하면$\displaystyle \{(1+m^2)s+(m^2-1)t\}\frac{ds}{dt}+(m^2-1)s+(1+m^2)t=0$이다.위의 값을 대입하면$\displaystyle v=\frac{ds}{dt}=\frac1{1+m^2}\left(1-m^2-\frac{2m^2}{\sqrt{1+m^2+m^4}}\right)$이므로점 $\displaystyle \mathrm P$의 속도는 $\displaystyle (v,mv)$이다.

[문제 3-3] $\displaystyle \ell_1$과 $\displaystyle x$축이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면$\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt{10}}4,\qquad \cos\theta=\frac{\sqrt6}4,\qquad \sin2\theta=\frac{\sqrt{15}}4$이다.[문제 3-2]의 거리 관계식에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\frac34$이므로삼각형의 넓이와 반둘레를 이용하면 $\displaystyle C_1$의 반지름은$\displaystyle R=\frac{\frac12\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt{15}}4}{\frac12(\frac34+\frac12+1)}=\frac{\sqrt{15}}{24}$이다.

두 원의 중심은 각의 이등분선인 $\displaystyle x$축 위에 있다.원점에서 $\displaystyle C_1$의 중심까지의 거리를 $\displaystyle d_1$이라 하면$\displaystyle d_1\sin\theta=R$이고,$\displaystyle \ell_3$의 방정식은 $\displaystyle x=d_1-R$이다.원점에서 $\displaystyle C_2$의 중심까지의 거리를 $\displaystyle d_2$, 반지름을 $\displaystyle r$이라 하면$\displaystyle r=d_2\sin\theta=d_1-R-d_2$이므로$\displaystyle r=R\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$이다.두 원은 $\displaystyle \ell_3$의 양쪽에서 접하므로중심 사이의 거리는$\displaystyle R+r=\frac{2R}{1+\sin\theta}=\frac{2\sqrt{15}}9-\frac{5\sqrt6}{18}$이다.