추가 시험 자연계열 2번

[문제 2-1] $\displaystyle \mathrm P(t,f(t))$라 하면접선은$\displaystyle y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$이다.두 절편과 벡터 조건에서$\displaystyle X=-\frac{f(t)}{f^{\prime}(t)},\qquad Y=-tf^{\prime}(t),\qquad XY=tf(t)$이다.

$\displaystyle u=t^2/a^2$라 하면$\displaystyle 0<u<1$이고,$\displaystyle (XY)^2=a^2b^2u(1-u)=a^2b^2\left\{\frac14-\left(u-\frac12\right)^2\right\}\le\frac{a^2b^2}{4}$이다.$\displaystyle t=a/\sqrt2$에서 등호가 성립하고 $\displaystyle XY>0$이므로최댓값은 $\displaystyle \frac{ab}{2}$이다.

[문제 2-2] 앞에서 구한 관계식은 이 함수에도 성립하므로$\displaystyle xf(x)=c$이다.$\displaystyle f(1)=3$에서 $\displaystyle c=3$이므로$\displaystyle f(x)=\frac3x\quad(x>0)$이다.

구하는 함수는 $\displaystyle h(x)=\frac9{x^2}+\frac x3$이고,$\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{x^3-54}{3x^3}$이므로$\displaystyle 0<x<\sqrt[3]{54}$에서 감소하고 그 뒤에는 증가한다.따라서 $\displaystyle k=\sqrt[3]{54}$이다.