추가 시험 자연계열 2번

[문제 2] 아래의 [문제 2-1], [문제 2-2]에서 주어진 함수 $\displaystyle f(x)$는 정의역에 속하는 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ne 0$이다. 이때 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선이 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축과 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$라 하자. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$를 만족시키는 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 $\displaystyle x$좌표, $\displaystyle y$좌표를 각각 $\displaystyle X$, $\displaystyle Y$라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$는 원점이다.)

[문제 2-1] 두 양수 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$에 대하여 $\displaystyle f(x)=\sqrt{b^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)}\ (0<x<a)$일 때, $\displaystyle XY$의 최댓값을 구하시오. [15점]

[문제 2-2] 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다. (단, 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle f(x)>0$이다.)

함수 $\displaystyle \{f(x)\}^{2}+\frac{1}{f(x)}$이 $\displaystyle x=k$에서 최솟값을 가질 때, 실수 $\displaystyle k$의 값을 구하시오. [15점]