추가 시험 자연계열 3번

[문제 3-1] $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(t,4-2t)$이고,조건에서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-2\overrightarrow{\mathrm{OP}}$이다.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}^{\prime}}=(1,-2)$이므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=\lambda(2,1)$라 하면내적 조건에서 $\displaystyle -8\lambda>0$이고,길이 조건에서 $\displaystyle 5\lambda^2=4(5t^2-16t+16)$이다.따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PS}}=-5\lambda(2,1)$이고,$\displaystyle (\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PS}})^2=400\lambda^2=320(5t^2-16t+16)$이다.

따라서$\displaystyle \int_0^2(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PS}})^2\,dt=320\Biggl[\frac53t^3-8t^2+16t\Biggr]_0^2=\frac{12800}{3}$이다.

[문제 3-2] 수직 조건에서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=\lambda(\cos t,2\sin t)$라 하면내적 조건에서 $\displaystyle \lambda<0$이다.길이 조건에 의해$\displaystyle \lambda^2=25\frac{4\cos^2t+\sin^2t}{\cos^2t+4\sin^2t}$이므로$\displaystyle (\overrightarrow{\mathrm{OT}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}})^2=100\frac{4\sin^2t-3\sin^4t}{1+3\sin^2t}$이다.

$\displaystyle s=\sin^2t$라 하면$\displaystyle 0\le s\le1$이고,$\displaystyle H(s)=\frac{4s-3s^2}{1+3s}$에 대해$\displaystyle H^{\prime}(s)=\frac{4-6s-9s^2}{(1+3s)^2}$이다.$\displaystyle s=\frac{\sqrt5-1}{3}$을 기준으로 증가하다 감소하므로최댓값은$\displaystyle 100H\left(\frac{\sqrt5-1}{3}\right)=\frac{200}{3}(3-\sqrt5)$이다.해당 $\displaystyle s$는 $\displaystyle [0,1]$에 속하므로실제로 달성된다.

[문제 3-3] $\displaystyle u=f(t)>a$라 하면$\displaystyle g(t)=1/u$이고,$\displaystyle f^{\prime}(t)>0$이므로접선 방향은 $\displaystyle (1,-1/u^2)$와 같다.따라서 수직인 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}$은 $\displaystyle (1,u^2)$와 평행하다.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-a(u,1/u)$이고내적이 양수여야 하므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}$의 방향은 $\displaystyle (-1,-u^2)$이다.길이 조건을 적용하면$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac au(1,u^2)=\left(-\frac au,-au\right)$이다.

그러므로$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OR}}&=(u,1/u)\cdot(u-a/u,1/u-au)\\&=u^2+\frac1{u^2}-2a\\&>a^2-2a>0\end{aligned}$이다.이는 $\displaystyle u>a>2$인 모든 경우에 성립하므로요구한 부등식이 증명된다.