수리논술, 이게 다다.

추가 시험 자연계열 3번

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연세대 신촌캠퍼스 2025학년도 수시 추가 시험 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2025su/jayeoncha2_3

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배점40점
예상 소요 시간36분

문제

[문제 3] 아래의 [문제 3-1], [문제 3-2], [문제 3-3]에서 주어진 함수 f(t)\displaystyle f(t), g(t)\displaystyle g(t)는 각각 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수이다. 실수 t\displaystyle t에 대하여 점 P\displaystyle \mathrm{P}를 P(f(t),g(t))\displaystyle \mathrm{P}(f(t),g(t)), 점 P′\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}을 P′(f′(t),g′(t))\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}(f^{\prime}(t),g^{\prime}(t))라 할 때, 세 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}, R\displaystyle \mathrm{R}, S\displaystyle \mathrm{S}가 다음 조건을 만족시킨다. (단, O\displaystyle \mathrm{O}는 원점이다.)

(Ⅰ) OP→/ ⁣/OQ→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\parallel\overrightarrow{\mathrm{OQ}}, OP→⋅PQ→<0\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}<0, a∣OP→∣=∣PQ→∣\displaystyle a\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right| (단, a\displaystyle a는 1\displaystyle 1보다 큰 실수이다.)

(Ⅱ) PR→⋅OP′→=0\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}^{\prime}}=0, PR→⋅PQ→>0\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}>0, ∣PR→∣=∣PQ→∣\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|

(Ⅲ) PR→/ ⁣/PS→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}\parallel\overrightarrow{\mathrm{PS}}, PR→⋅PS→<0\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PS}}<0, b∣PR→∣=∣PS→∣\displaystyle b\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PS}}\right| (단, b\displaystyle b는 양의 실수이다.)

다음 물음에 답하시오.

[문제 3-1] a=2\displaystyle a=2, b=5\displaystyle b=5이고 f(t)=t\displaystyle f(t)=t, g(t)=4−2t\displaystyle g(t)=4-2t일 때, ∫02(OP→⋅PS→)2dt\displaystyle \int_{0}^{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PS}}\right)^{2}dt의 값을 구하시오. [10점]

[문제 3-2] a=5\displaystyle a=5이고 f(t)=2cos⁡t\displaystyle f(t)=2\cos t, g(t)=sin⁡t\displaystyle g(t)=\sin t일 때, 점 T(0,1)\displaystyle \mathrm{T}(0,1)에 대하여 0≤t≤π2\displaystyle 0\le t\le\frac{\pi}{2}에서 (OT→⋅PR→)2\displaystyle \left(\overrightarrow{\mathrm{OT}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right)^{2}의 최댓값을 구하시오. [15점]

[문제 3-3] a>2\displaystyle a>2이고 모든 실수 t\displaystyle t에 대하여 f(t)g(t)=1\displaystyle f(t)g(t)=1, f(t)>a\displaystyle f(t)>a, f′(t)>0\displaystyle f^{\prime}(t)>0일 때, 모든 실수 t\displaystyle t에 대하여 OP→⋅OR→>0\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OR}}>0임을 보이시오. [15점]

해설강의 준비중

벡터의 내적

관련 개념강의 준비중

위치벡터

관련 개념강의 준비중

몫의 미분법

관련 개념강의 준비중

연세대 신촌캠퍼스 2025학년도 수시 추가 시험 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2025su/jayeoncha2_3

+6점 · [3-1] 방향과 길이 조건을 반영하여 필요한 벡터 또는 내적을 구한다.

[문제 3-1] OP→=(t,4−2t)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(t,4-2t)이고,조건에서 PQ→=−2OP→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-2\overrightarrow{\mathrm{OP}}이다.OP′→=(1,−2)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}^{\prime}}=(1,-2)이므로PR→=λ(2,1)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=\lambda(2,1)라 하면내적 조건에서 −8λ>0\displaystyle -8\lambda>0이고,길이 조건에서 5λ2=4(5t2−16t+16)\displaystyle 5\lambda^2=4(5t^2-16t+16)이다.따라서 PS→=−5λ(2,1)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PS}}=-5\lambda(2,1)이고,(OP→⋅PS→)2=400λ2=320(5t2−16t+16)\displaystyle (\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PS}})^2=400\lambda^2=320(5t^2-16t+16)이다.

+4점 · [3-1] 정적분을 올바르게 계산한다.

따라서∫02(OP→⋅PS→)2 dt=320[53t3−8t2+16t]02=128003\displaystyle \int_0^2(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PS}})^2\,dt=320\Biggl[\frac53t^3-8t^2+16t\Biggr]_0^2=\frac{12800}{3}이다.

+8점 · [3-2] 조건을 반영하여 최댓값을 구할 대상을 올바르게 나타낸다.

[문제 3-2] 수직 조건에서 PR→=λ(cos⁡t,2sin⁡t)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=\lambda(\cos t,2\sin t)라 하면내적 조건에서 λ<0\displaystyle \lambda<0이다.길이 조건에 의해λ2=254cos⁡2t+sin⁡2tcos⁡2t+4sin⁡2t\displaystyle \lambda^2=25\frac{4\cos^2t+\sin^2t}{\cos^2t+4\sin^2t}이므로(OT→⋅PR→)2=1004sin⁡2t−3sin⁡4t1+3sin⁡2t\displaystyle (\overrightarrow{\mathrm{OT}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}})^2=100\frac{4\sin^2t-3\sin^4t}{1+3\sin^2t}이다.

+7점 · [3-2] 주어진 범위에서 최댓값과 달성 가능성을 확인한다.

s=sin⁡2t\displaystyle s=\sin^2t라 하면0≤s≤1\displaystyle 0\le s\le1이고,H(s)=4s−3s21+3s\displaystyle H(s)=\frac{4s-3s^2}{1+3s}에 대해H′(s)=4−6s−9s2(1+3s)2\displaystyle H^{\prime}(s)=\frac{4-6s-9s^2}{(1+3s)^2}이다.s=5−13\displaystyle s=\frac{\sqrt5-1}{3}을 기준으로 증가하다 감소하므로최댓값은100H(5−13)=2003(3−5)\displaystyle 100H\left(\frac{\sqrt5-1}{3}\right)=\frac{200}{3}(3-\sqrt5)이다.해당 s\displaystyle s는 [0,1]\displaystyle [0,1]에 속하므로실제로 달성된다.

+9점 · [3-3] 주어진 조건으로부터 내적의 부호를 판단할 관계를 구한다.

[문제 3-3] u=f(t)>a\displaystyle u=f(t)>a라 하면g(t)=1/u\displaystyle g(t)=1/u이고,f′(t)>0\displaystyle f^{\prime}(t)>0이므로접선 방향은 (1,−1/u2)\displaystyle (1,-1/u^2)와 같다.따라서 수직인 벡터 PR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}은 (1,u2)\displaystyle (1,u^2)와 평행하다.PQ→=−a(u,1/u)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-a(u,1/u)이고내적이 양수여야 하므로PR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}의 방향은 (−1,−u2)\displaystyle (-1,-u^2)이다.길이 조건을 적용하면PR→=−au(1,u2)=(−au,−au)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac au(1,u^2)=\left(-\frac au,-au\right)이다.

+6점 · [3-3] 모든 허용된 값에서 내적이 양수임을 증명한다.

그러므로OP→⋅OR→=(u,1/u)⋅(u−a/u,1/u−au)=u2+1u2−2a>a2−2a>0\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OR}}&=(u,1/u)\cdot(u-a/u,1/u-au)\\&=u^2+\frac1{u^2}-2a\\&>a^2-2a>0\end{aligned}이다.이는 u>a>2\displaystyle u>a>2인 모든 경우에 성립하므로요구한 부등식이 증명된다.

다른 타당한 풀이도 해당 단계의 논증과 계산이 옳으면 같은 배점을 인정한다.

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