추가 시험 자연계열 1번

[문제 1-1] 부분적분하면$\displaystyle \int_1^e(\ln x)^2\,dx=\Biggl[x(\ln x)^2\Biggr]_1^e-2\int_1^e\ln x\,dx=e-2$이므로$\displaystyle X=(e-1)m-(e-2)n$이다.

$\displaystyle m,n$은 각각 $\displaystyle 1,2,\ldots,30$을 같은 확률로 가지므로$\displaystyle \mathrm E(m)=\mathrm E(n)=\frac{31}{2}$이다.따라서$\displaystyle \mathrm E(X)=(e-1)\frac{31}{2}-(e-2)\frac{31}{2}=\frac{31}{2}$이다.

[문제 1-2] $\displaystyle 30!/(mn)$의 서로 다른 소인수의 개수를 $\displaystyle k$라 하면서로소인 세 수에 각 소인수의 거듭제곱을 통째로 배정하는 방법은 $\displaystyle 3^k$가지이다.이 중 두 수가 같은 경우는 두 수가 모두 $\displaystyle 1$인 세 가지뿐이고,이를 제외하면 세 수가 모두 다르므로$\displaystyle Y=\frac{3^k-3}{6},\qquad \frac{2Y+1}{3^7}=3^{k-8}$이다.

$\displaystyle 30!$의 소인수는 $\displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$이다.$\displaystyle mn$으로 나누어 소인수가 없어지는 경우는$\displaystyle 17,19,23,29$ 중 하나를 뽑거나,$\displaystyle \{m,n\}=\{11,22\}$ 또는 $\displaystyle \{13,26\}$일 때이다.전체 순서쌍은 $\displaystyle 30\cdot29=870$개이므로(i) 소인수가 두 개 없어질 때는 큰 소수 네 개 중 서로 다른 두 개를 뽑아야 하므로$\displaystyle 12$개이다.(ii) 소인수가 하나 없어질 때는 큰 소수 하나와 나머지 수를 뽑는 $\displaystyle 2\cdot4\cdot26$개와$\displaystyle (11,22),(22,11),(13,26),(26,13)$을 합하여 $\displaystyle 212$개이다.(iii) 소인수가 없어지지 않을 때는 $\displaystyle 870-12-212=646$개이다.따라서 $\displaystyle k=8,9,10$일 확률은 각각 $\displaystyle \frac6{435},\frac{106}{435},\frac{323}{435}$이다.

따라서$\displaystyle \mathrm E\left(\frac{2Y+1}{3^7}\right)=\frac{6+3\cdot106+9\cdot323}{435}=\frac{1077}{145}$이다.