자연계열 1번

(가) 평면의 한 부분집합 $\displaystyle S$를 생각하자. 우리는 $\displaystyle S$를 한 점을 중심으로 회전이동하거나, 어떤 직선에 대하여 대칭이동한 결과가 여전히 $\displaystyle S$와 같은 집합이면 $\displaystyle S$가 각각 회전변환과 선대칭변환에 대한 대칭성을 가진다고 말한다. 예를 들어 (그림 1)의 검은 부분을 $\displaystyle S$라 하면 $\displaystyle S$는 직선 $\displaystyle \ell$에 대하여 대칭이동을 하여도 여전히 $\displaystyle S$와 같은 집합이므로 $\displaystyle S$는 선대칭변환에 대한 대칭성을 가진다. (그림 2)의 정삼각형은 무게중심을 중심으로 $\displaystyle 120^{\circ}$만큼 회전이동하면 여전히 같은 삼각형이므로 회전변환에 대한 대칭성을 가진다. 하지만 (그림 3)의 경우에는 어떤 대칭성도 찾을 수 없다.

주어진 집합의 대칭성을 알아내는 일은 어려워 보이지 않는다. 그렇다면 평면의 한 부분집합 $\displaystyle A$를 포함하며 주어진 변환들에 대하여 대칭성을 가지는 최소의 집합 $\displaystyle S(A)$를 만들 수 있을까?

예제 1. 집합 $\displaystyle A$를 $\displaystyle xy$평면의 한 점 $\displaystyle P(1,0)$로 이루어진 집합이라고 하자. 그리고 평면 위의 점들을 원점을 중심으로 하여 (시곗바늘이 도는 방향과 반대인 방향으로) $\displaystyle 120^{\circ}$만큼 회전이동하는 변환 $\displaystyle \rho$가 주어졌다고 하자. 집합 $\displaystyle A$에 필요한 원소들을 추가하여 변환 $\displaystyle \rho$에 대하여 대칭성을 가지는 최소의 집합 $\displaystyle S(A)$를 구해 보자. 점 $\displaystyle P(1,0)$를 원점을 중심으로 $\displaystyle 120^{\circ}$만큼 회전시키면 $\displaystyle \rho(1,0)=(-\frac12,\frac{\sqrt3}2)$이므로 점 $\displaystyle P_1(-\frac12,\frac{\sqrt3}2)$은 반드시 $\displaystyle S(A)$의 원소이어야 하며, $\displaystyle P_1(-\frac12,\frac{\sqrt3}2)$을 $\displaystyle 120^{\circ}$만큼 회전시키면 $\displaystyle \rho(-\frac12,\frac{\sqrt3}2)=(-\frac12,-\frac{\sqrt3}2)$이므로 $\displaystyle P_2(-\frac12,-\frac{\sqrt3}2)$도 $\displaystyle S(A)$의 원소이어야 한다. 이제 집합 $\displaystyle \{P(1,0),P_1(-\frac12,\frac{\sqrt3}2),P_2(-\frac12,-\frac{\sqrt3}2)\}$은 변환 $\displaystyle \rho$에 대하여 대칭성을 가짐을 쉽게 알 수 있으며 따라서 $\displaystyle S(A)=\{P(1,0),P_1(-\frac12,\frac{\sqrt3}2),P_2(-\frac12,-\frac{\sqrt3}2)\}$이다.

(나) 우리는 평면에서의 대칭성을 일반적인 집합에서의 대칭성으로 확장하여 생각할 수 있다. 전체집합 $\displaystyle U$와 $\displaystyle U$에서 $\displaystyle U$로의 일대일 대응 $\displaystyle F:U\to U$가 주어졌다고 하자. $\displaystyle S$가 $\displaystyle U$의 한 부분집합일 때 함수 $\displaystyle F$가 $\displaystyle S$에 작용하여 얻어진 집합을 다음과 같이 표시하기로 하자:$\displaystyle F(S)=\{F(s)\mid s\in S\}$$\displaystyle F(S)$가 $\displaystyle S$와 여전히 같은 집합이면 $\displaystyle S$는 함수 $\displaystyle F$에 대한 대칭성을 가진다고 한다.

예제 2. 집합 $\displaystyle X$를 1부터 5까지의 자연수 집합 그리고 $\displaystyle f$와 $\displaystyle g$는 다음과 같이 정의된 $\displaystyle X$에서 $\displaystyle X$로의 일대일 대응이라 하자:$\displaystyle f(1)=2,f(2)=1,f(3)=3,f(4)=4,f(5)=5$,$\displaystyle g(1)=2,g(2)=3,g(3)=4,g(4)=5,g(5)=1$.$\displaystyle X$의 세 부분집합 $\displaystyle S_1=\{1\}$, $\displaystyle S_2=\{1,2\}$, $\displaystyle S_3=\{1,2,3,4,5\}$라 하면 $\displaystyle 1$은 $\displaystyle S_1$의 원소이지만 $\displaystyle f(1)\notin S_1$, $\displaystyle g(1)\notin S_1$이므로 $\displaystyle S_1$은 $\displaystyle f$에 대한 대칭성도 $\displaystyle g$에 대한 대칭성도 가지지 않는다. 한편 $\displaystyle f(S_2)=\{f(1),f(2)\}=\{2,1\}=S_2$이므로 $\displaystyle S_2$는 $\displaystyle f$에 대한 대칭성은 가지지만, $\displaystyle g(2)=3\notin S_2$이므로 $\displaystyle g$에 대한 대칭성은 가지지 않는다. 그리고 $\displaystyle S_3$는 $\displaystyle f$와 $\displaystyle g$에 대한 대칭성을 모두 가짐을 확인할 수 있다.주어진 $\displaystyle n$개의 대상으로부터 중복을 허락하여 $\displaystyle r$개를 뽑는 것을 $\displaystyle n$개중 $\displaystyle r$개를 택하는 중복조합이라 부른다. 중복조합을 표시하는 방법으로 우리는 $\displaystyle [a_1;a_2;\cdots;a_r]$과 같은 방법을 쓰기로 한다. 예를 들어 2개의 문자 a, b 중에서 3개를 택하는 중복조합에는 [a; a; a], [a; a; b] 등이 있으며 [a; a; b]는 [a; b; a]와 같은 중복조합이다. 중복조합들을 원소로 갖는 집합의 대칭성을 알아보기로 하자.

예제 3. 집합 $\displaystyle M$을 1부터 5까지의 자연수에서 중복을 허락하여 4개의 수를 선택하여 만든 중복조합들을 원소로 가지는 집합이라 하자. $\displaystyle f$와 $\displaystyle g$가 예제 2에 주어진 함수일 때, $\displaystyle F$와 $\displaystyle G$는 다음과 같이 정의된 $\displaystyle M$에서 $\displaystyle M$으로의 함수라 하자: $\displaystyle [a;b;c;d]\in M$가 1부터 5까지의 자연수에서 중복을 허락하여 4개의 수를 선택하여 만든 중복조합일 때,$\displaystyle F([a;b;c;d])=[f(a);f(b);f(c);f(d)]$$\displaystyle G([a;b;c;d])=[g(a);g(b);g(c);g(d)]$예를 들어 $\displaystyle [1;1;3;5]$는 $\displaystyle M$의 한 원소이며$\displaystyle F([1;1;3;5])=[f(1);f(1);f(3);f(5)]=[2;2;3;5]$$\displaystyle G([1;1;3;5])=[g(1);g(1);g(3);g(5)]=[2;2;4;1]$이다. $\displaystyle M$의 한 부분집합 $\displaystyle C$가 $\displaystyle C=\{[1;1;2;3],[2;2;3;4],[3;3;4;5],[4;4;5;1],[5;5;1;2]\}$일 때 $\displaystyle C$는 $\displaystyle F$에 대한 대칭성을 가지지 않지만 $\displaystyle G$에 대한 대칭성을 가진다.