자연계열 1번

[문제 1-1] 1) 평면의 한 점 $\displaystyle (x,y)$는 원점을 중심으로하여 반시계방향으로 $\displaystyle 90^{\circ}$회전시키면 $\displaystyle \alpha(x,y)=(-y,x)$가 되고 다시 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이동을 시키면 $\displaystyle \beta(\alpha(x,y))=(y,x)$이 된다. 따라서 $\displaystyle \gamma$는 직선 $\displaystyle y=x$에 대한 대칭이동이다.

2) $\displaystyle T$는 $\displaystyle \alpha$에 대한 대칭성을 가지므로 $\displaystyle \alpha(T)=T$이며 $\displaystyle T$는 $\displaystyle \beta$에 대한 대칭성을 가지므로, $\displaystyle \beta(\alpha(T))=\beta(T)=T$이다.따라서 집합 $\displaystyle T$는 변환 $\displaystyle \gamma=\beta\circ\alpha$에 대해서도 대칭성을 가진다.

3) 점 $\displaystyle Q(3,4)$를 원점을 중심으로 반시계방향으로 $\displaystyle 90^{\circ}$만큼 회전시키면 $\displaystyle \alpha(3,4)=(-4,3)$이므로 점 $\displaystyle Q_1(-4,3)$은 반드시 $\displaystyle S(A)$의 원소이어야 하며, $\displaystyle Q_1(-4,3)$을 $\displaystyle 90^{\circ}$만큼 회전시킨 $\displaystyle Q_2(-3,-4)$도 $\displaystyle S(A)$의 원소이어야 한다. 마찬가지로 $\displaystyle \alpha(-3,-4)=(4,-3)$이므로 $\displaystyle Q_3(4,-3)$도 $\displaystyle S(A)$의 원소이어야 함을 알 수 있다.이제 집합 $\displaystyle A^{\prime}=\{Q(3,4),Q_1(-4,3),Q_2(-3,-4),Q_3(4,-3)\}$은 변환 $\displaystyle \alpha$에 대하여 대칭성을 가짐을 쉽게 알 수 있다. 이제 $\displaystyle A^{\prime}$에 $\displaystyle \gamma$를 적용해보면 $\displaystyle A^{\prime\prime}=\{(3,4),(-4,3),(-3,-4),(4,-3),(4,3),(3,-4),(-4,-3),(-3,4)\}$는 $\displaystyle S(A)$의 부분집합이어야 한다. $\displaystyle A^{\prime\prime}$은 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$ 모두에 대한 대칭성을 가지므로 $\displaystyle S(A)=A^{\prime\prime}=\{(3,4),(-4,3),(-3,-4),(4,-3),(4,3),(3,-4),(-4,-3),(-3,4)\}$이다.

[문제 1-2] 함수$\displaystyle F$는 1을 2로 2를 1로 바꾸는 일을 한다.$\displaystyle F([1;1;2;3])=[2;2;1;3]$, $\displaystyle F([2;2;3;4])=[1;1;3;4]$, $\displaystyle F([3;3;4;5])=[3;3;4;5]$$\displaystyle F([4;4;5;1])=[4;4;5;2]$, $\displaystyle F([5;5;1;2])=[5;5;1;2]$이므로$\displaystyle [2;2;1;3]$, $\displaystyle [1;1;3;4]$, $\displaystyle [4;4;5;2]$는 모두 $\displaystyle S(C)$의 원소이어야 한다. 이제 $\displaystyle S(C)\cup\{[2;2;1;3],[1;1;3;4],[4;4;5;2]\}$에 $\displaystyle F$를 적용하여도 여전히 $\displaystyle S(C)\cup\{[2;2;1;3],[1;1;3;4],[4;4;5;2]\}$의 원소이므로 $\displaystyle S(C)=S\cup\{[1;2;2;3],[1;1;3;4],[2;4;4;5]\}$이다.Comment. 여기의 $\displaystyle S$는 예제 3에서 정의한 $\displaystyle C$를 뜻한다. 앞 문장의 합집합도 $\displaystyle C\cup\{[2;2;1;3],[1;1;3;4],[4;4;5;2]\}$에 $\displaystyle F$를 적용해 닫혀 있음을 확인하는 것으로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 1-3] $\displaystyle \tau_1=\phi_2\phi_1\phi_2$는 1과 3을 서로 바꾸어 주며 $\displaystyle \tau_2=\phi_3\tau\phi_3$는 1과 4를 그리고 $\displaystyle \tau_3=\phi_3\phi_2\phi_3$는 2와 4를 서로 바꾸어 주는 $\displaystyle \{1,2,3,4\}$의 일대일 대응이다. 따라서Correction. 원문의 $\displaystyle \tau_2=\phi_3\tau\phi_3$의 $\displaystyle \tau$는 정의되어 있지 않다. $\displaystyle \tau_2=\phi_3\tau_1\phi_3$로 놓으면 1과 4를 맞바꾸고 나머지 원소를 고정한다. 뒤의 중복조합 개수 12는 그대로 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle [\tau_1(2),\tau_1(3),\tau_1(3),\tau_1(4)]=[2;1;1;4]\in S(D)$$\displaystyle [\phi_1(2);\phi_1(1);\phi_1(1);\phi_1(4)]=[1;2;2;4]\in S(D)$$\displaystyle [\phi_3(2);\phi_3(3);\phi_3(3);\phi_3(4)]=[2;4;4;3]\in S(D)$이어야 한다. 따라서 중복되는 1, 2, 3, 4가 모두 나타나며 중복되는 원소를 제외한 두 원소로 세 가지 조합이 모두 가능하다. 따라서 $\displaystyle S(D)$는 한 원소가 두 번 중복되어 나타나는 모든 중복조합들의 집합이다. $\displaystyle n(S(D))$는 중복조합에 두 번 나타나는 원소를 고르는 방법의 수 4와 나머지 수 중에서 두 원소를 선택하는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3$의 곱인 12이다.