자연계열 2번

[문제 2-1] 1) 그림에서 $\displaystyle \overline{LO}=\frac{a+b}2$이므로 $\displaystyle A=\overline{LO}$이다. 〈甲〉원의 성질로부터 $\displaystyle \overline{PM}^2=\overline{LM}\times\overline{MN}=ab$이므로 $\displaystyle G=\overline{PM}$이다. 〈乙〉$\displaystyle \triangle OMP$의 넓이를 고려하면$\displaystyle \frac12\times\overline{OP}\times\overline{QM}=\frac12\times\overline{OM}\times\overline{MP}$이로부터$\displaystyle A\times\overline{QM}=\frac{b-a}2\times G$이다.Caution. 식을 길이나 넓이로 해석할 때는 그 값이 음이 아닌지 확인해야 한다: 그림에서 $\displaystyle a=\overline{LM}\ge b=\overline{MN}$이므로 $\displaystyle \overline{OM}=\frac{a-b}2$이다. 따라서 이 줄의 $\displaystyle b-a$는 $\displaystyle a-b$로 쓰거나 절댓값을 붙여야 한다. 다음 줄에서는 제곱하므로 최종 관계 $\displaystyle \overline{PQ}=H$는 그대로 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \triangle QMP$에 피타고라스 정리를 적용하면$\displaystyle \begin{aligned}A^2\times\overline{PQ}^2&=A^2\times(\overline{PM}^2-\overline{QM}^2)=A^2G^2-(\frac{b-a}2)^2G^2\\&=\left((\frac{a+b}2)^2-(\frac{a-b}2)^2\right)G^2=G^4\end{aligned}$즉 $\displaystyle A\times\overline{PQ}=G^2$을 얻게 되므로 이로부터 $\displaystyle \overline{PQ}=H$를 얻는다. 〈丙〉

2) 직각삼각형에서 빗변의 길이는 다른 변보다 길다. 이를 $\displaystyle \triangle MQP$와 $\displaystyle \triangle OMP$에 적용하면 부등식 $\displaystyle H\le G\le A$를 얻는다.

[문제 2-2] 그룹 1의 변량을 $\displaystyle x_1,x_2,\ldots,x_{100}$, 그룹 2의 변량을 $\displaystyle y_1,y_2,\ldots,y_{200}$, 추가되는 변량을 $\displaystyle Z$라 하면, 전체 자료의 산술평균 $\displaystyle A$와 조화평균 $\displaystyle H$는 다음과 같이 구해진다.$\displaystyle A=\frac{\sum_{i=1}^{100}x_i+\sum_{i=1}^{200}y_i+100\times Z}{400}$$\displaystyle H^{-1}=\frac{\sum_{i=1}^{100}x_i^{-1}+\sum_{i=1}^{200}y_i^{-1}+100\times Z^{-1}}{400}$한편, 주어진 표로부터$\displaystyle \sum_{i=1}^{100}x_i=100\times1,\quad\sum_{i=1}^{200}y_i=200\times\frac32,\quad\sum_{i=1}^{100}x_i^{-1}=100\times\frac74,\quad\sum_{i=1}^{200}y_i^{-1}=200\times1$,이 성립한다. 이를 이용하면,$\displaystyle A=\frac{100\times1+200\times\frac32+100\times Z}{400}=\frac{4+Z}4$$\displaystyle H^{-1}=\frac{100\times\frac74+200\times1+100\times Z^{-1}}{400}=\frac{\frac{15}4+Z^{-1}}4$$\displaystyle H=\frac{16}{15+4\times Z^{-1}}$문제에서 주어진 조건 $\displaystyle A:H=2:1$로부터 $\displaystyle (15+4Z^{-1})\times(4+Z)=128$을 얻는다. 이 식을 풀면 $\displaystyle Z=4/15,4$.

[문제 2-3] 1) $\displaystyle R^2-A^2=(a^2+b^2)/2-(a^2+2ab+b^2)/4=(a-b)^2/4\ge0$이므로 일반적으로 $\displaystyle R\ge A$가 성립한다. 〈甲〉등호가 성립하기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle a=b$이다. 〈乙〉

2) 주어진 부등식의 좌변과 우변은 각각 $\displaystyle a\cdot\frac{\alpha\sqrt{(1+(b/a)^2)/2}+2(b/a)/(1+b/a)}3$, $\displaystyle a\cdot\frac{1+b/a}2$이다. 따라서 주어진 부등식은 $\displaystyle \lambda\ge1$에 대한 아래 부등식과 동등하다.$\displaystyle \frac{\alpha\sqrt{(1+\lambda^2)/2}+2\lambda/(1+\lambda)}3\le\frac{1+\lambda}2$이 부등식이 $\displaystyle \lambda=1$일 때에도 성립하여야 하므로 $\displaystyle \frac{\alpha+1}3\le1$, 즉 $\displaystyle \alpha\le2$이어야 한다. $\displaystyle \alpha=2$인 경우 부등식이 성립하는지 알아보기 위하여$\displaystyle F(\lambda)=\sqrt{2+2\lambda^2}+2\lambda/(1+\lambda)-3(1+\lambda)/2$라 하면,$\displaystyle F^{\prime}(\lambda)=2\lambda/\sqrt{2+2\lambda^2}+2/(1+\lambda)^2-3/2$,$\displaystyle F^{\prime\prime}(\lambda)=4/(\sqrt{2+2\lambda^2})^3-4/(1+\lambda)^3$이다.문제 (1)에 의하여 임의의 양수 $\displaystyle \lambda$에 대하여 $\displaystyle \sqrt{2+2\lambda^2}\ge1+\lambda$이므로 $\displaystyle F^{\prime\prime}(\lambda)\le0$, 즉 $\displaystyle F^{\prime}(\lambda)$는 감소한다. 따라서 $\displaystyle \lambda\ge1$에 대하여 $\displaystyle F^{\prime}(\lambda)\le F^{\prime}(1)=0$. 따라서 $\displaystyle F(\lambda)$는 감소한다. $\displaystyle F(\lambda)\le F(1)=0$가 성립한다. 그러므로 주어진 부등식은 $\displaystyle \alpha=2$인 경우 성립하고, 주어진 부등식을 만족하는 가장 큰 양의 상수 $\displaystyle \alpha$는 2이다.