자연계열 (오후) 2번

[문제 2-1] 곱을 합·차로 고치는 공식을 반복 적용하면$\displaystyle \begin{aligned}\sin(20^{\circ})\cdot\sin(40^{\circ})\cdot\sin(80^{\circ})&=-\frac12(\cos(100^{\circ})-\cos(60^{\circ}))\cdot\sin(40^{\circ})\\&=-\frac12\cos(100^{\circ})\cdot\sin(40^{\circ})\\&\quad+\frac12\cos(60^{\circ})\cdot\sin(40^{\circ})\\&=-\frac14(\sin(140^{\circ})-\sin(60^{\circ}))+\frac14\sin(40^{\circ})\\&=\frac14\sin(60^{\circ})+\frac14(-\sin(140^{\circ})+\sin(40^{\circ}))\\&=\frac{\sqrt3}8\end{aligned}$사인 함수에 대한 배각 공식에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}a_n\sin\frac\pi{7\cdot2^{n-1}}&=\cos\frac\pi7\cdots\cos\frac\pi{7\cdot2}\cdots\cos\frac\pi{7\cdot2^{n-1}}\cdot\sin\frac\pi{7\cdot2^{n-1}}\\&=2^{-n}\sin\frac{2\pi}7\end{aligned}$이 성립하므로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 일반항은 아래와 같이 주어진다.$\displaystyle a_n=\frac{2^{-n}\sin\frac{2\pi}7}{\sin\frac\pi{7\cdot2^{n-1}}}$삼각함수의 극한에 관한 공식 $\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sin t}t=1$으로부터 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{\sin\frac{2\pi}7}{\frac{2\pi}7}$을 얻는다.

[문제 2-2] 1) 단위원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 대응하므로, 사인과 코사인의 배각 공식에 의하여$\displaystyle \sin(2\alpha(t))=2\sin(\alpha(t))\cos(\alpha(t))=2t\sqrt{1-t^2}$$\displaystyle \cos(2\alpha(t))=1-2\sin^2(\alpha(t))=1-2t^2$Correction. 문제에서 $\displaystyle \alpha(t)$는 x좌표가 t가 되는 때의 이동 거리이고, $\displaystyle \beta(t)$는 y좌표가 t가 되는 때의 이동 거리이다. 따라서 $\displaystyle \cos\alpha(t)=t$, $\displaystyle \sin\beta(t)=t$이며, 이 문제의 $\displaystyle f(t)=2t\sqrt{1-t^2}+1-2t^2$는 맞지만 두 번째 식은 $\displaystyle \cos(2\beta(t))=1-2\sin^2(\beta(t))$로 적어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.을 얻는다. 이로부터 $\displaystyle f(t)=2t\sqrt{1-t^2}+1-2t^2$임을 알 수 있다.2) 함수 $\displaystyle f(t)$를 미분하면, $\displaystyle f^{\prime}(t)=2\sqrt{1-t^2}-\frac{2t^2}{\sqrt{1-t^2}}-4t$이다.$\displaystyle f^{\prime}(t)=0$에서 $\displaystyle 1-2t^2=2t\sqrt{1-t^2}$. 양변을 제곱하면$\displaystyle 8t^4-8t^2+1=0$, 따라서 $\displaystyle t^2=\frac{2\pm\sqrt2}4$이다. 한편, $\displaystyle t$와 $\displaystyle 1-2t^2$의 부호는 같아야 하므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)=0$의 근은 $\displaystyle t=\frac12\sqrt{2-\sqrt2},-\frac12\sqrt{2+\sqrt2}$이다.

[문제 2-3] $\displaystyle \tan\phi=\frac1a$, $\displaystyle \tan\psi=\frac1b$인 예각 $\displaystyle \phi,\psi$를 생각하자. 문제의 조건은 아래 조건과 동등하다.(*) $\displaystyle \frac\pi4-\gamma=\phi+\psi$탄젠트에 대한 덧셈정리로부터$\displaystyle \tan(\frac\pi4-\gamma)=\frac{1-\frac12}{1+\frac12}=\frac13$$\displaystyle \tan(\phi+\psi)=\frac{\frac1a+\frac1b}{1-\frac1a\frac1b}=\frac{a+b}{ab-1}$을 얻는다. 식 (*)에 의하여 $\displaystyle \frac{a+b}{ab-1}=\frac13$, 즉 $\displaystyle ab-3b-3a-1=0$를 얻는다. 식을 정리하면 $\displaystyle (a-3)(b-3)=10$이다. 이 식을 만족하는 자연수의 쌍은 $\displaystyle (4,13)$, $\displaystyle (5,8)$이다.