자연계열 (오후) 1번

[문제 1-1] 전체집합 $\displaystyle U=\{1,2,\cdots,10^4\}$,$\displaystyle A_1=\{n\in U:n\text{은 4의 배수}\}$, $\displaystyle A_2=\{n\in U:n\text{은 6의 배수}\}$라 하면 원하는 수는 $\displaystyle n(A_1^c\cap A_2^c)$이다. $\displaystyle N_1=n(A_1)+n(A_2)=2500+1666=4166$, $\displaystyle N_2=n(A_1\cap A_2)=833$이므로 정리 1에 의하여 $\displaystyle n(A_1^c\cap A_2^c)=10000-4166+833=6667$이다.

[문제 1-2] 1) $\displaystyle E_1$에 돌을 놓아야하므로 1행과 5열을 제외한 나머지 $\displaystyle 4\times4$체스판에 3개의 돌을 각 행과 각 열에 기껏해야 하나씩만 놓는 방법의 수를 계산하면 된다. 4개의 행 가운데 돌이 놓이지 않는 한 행과, 4개의 열 가운데 돌이 놓이지 않는 한 열을 선택하는 방법이 $\displaystyle 4\times4=16$가지이며 나머지 $\displaystyle 3\times3$체스판에 세 개의 돌을 놓는 방법은 $\displaystyle 3!=6$이므로 $\displaystyle n(A_1)=16\times6=96$이다. $\displaystyle A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c\cap A_5^c$의 원소들은 $\displaystyle E_i,\ i=1,2,3,4,5$에 모두 돌을 놓지 않는 방법이다.2) $\displaystyle A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c\cap A_5^c$의 원소들은 $\displaystyle E_i,\ i=1,2,3,4,5$에 모두 돌을 놓지 않는 방법이다.

[문제 1-3] 전체집합 $\displaystyle U$는 바둑판 $\displaystyle B(5)$의 각행과 열에 하나씩 다섯 개의 바둑돌을 놓는 방법들의 집합, $\displaystyle A_i,\ i=1,2,\cdots,5$, 는 각각 $\displaystyle i$번째 행의 색이 칠해진 부분에 돌을 놓는 방법들의 집합이라고 하자. 우리가 원하는 방법은 색이 칠해진 부분에 돌을 전혀 놓지 않는 것이므로 $\displaystyle A_1^c\cap A_2^c\cap\cdots\cap A_5^c$의 원소의 개수를 세는 것과 같다.Correction. 이 문단의 $\displaystyle B(5)$, 다섯 개, 인덱스 5는 문제의 $\displaystyle B(4)$, 네 개, 인덱스 4를 뜻한다. 뒤의 계산은 4×4 체스판을 대상으로 하며 답 9는 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle n(U)=4!=24$$\displaystyle N_1=n(A_1)+n(A_2)+n(A_3)+n(A_4)=3!\times4=24$$\displaystyle \begin{aligned}N_2&=n(A_1\cap A_2)+n(A_1\cap A_3)+n(A_1\cap A_4)+n(A_2\cap A_3)+n(A_2\cap A_4)+n(A_3\cap A_4)\\&=2!\times6=12\end{aligned}$$\displaystyle N_3=n(A_1\cap A_2\cap A_3)+n(A_1\cap A_2\cap A_4)+n(A_1\cap A_3\cap A_4)+n(A_2\cap A_3\cap A_4)=4$$\displaystyle N_3=n(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)=1$Correction. 네 집합의 교집합을 세는 이 식의 $\displaystyle N_3$는 $\displaystyle N_4$를 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로 $\displaystyle n(A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c)=24-24+12-4+1=9$이다.