자연계열 2번

(가) 거리함수란 주어진 집합에 속한 임의의 두 원소 간의 거리를 정하는 함수이다. 거리라는 개념은 유클리드 기하에서와 같이 우리가 그동안 사용해 오던 방식으로 정할 수 있지만, 수학적으로 더욱 일반화할 수도 있다. 구체적으로 집합 $\displaystyle X$의 임의의 두 원소 $\displaystyle P,Q$에 대하여 실수 $\displaystyle d(P,Q)$가 주어져 있다고 하자. $\displaystyle X$에 속하는 모든 원소 $\displaystyle P,Q,R$에 대하여 다음 성질들이 성립할 때 $\displaystyle d$를 $\displaystyle X$ 위의 거리함수라고 한다.

(i) $\displaystyle d(P,Q)\ge0$(ii) $\displaystyle d(P,Q)=0\ \Leftrightarrow\ P=Q$(iii) $\displaystyle d(P,Q)=d(Q,P)$(iv) $\displaystyle d(P,R)\le d(P,Q)+d(Q,R)$

이 성질들은 우리가 평소에 사용하는 거리라는 개념의 일반적인 성질들을 나타낸다. 거리는 음이 아닌 실수 값을 가지고, 같은 점 사이의 거리는 0이지만 서로 다른 두 점 사이의 거리는 양수이다. 또한, 두 점 $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$ 사이의 거리는 $\displaystyle Q$와 $\displaystyle P$ 사이의 거리와 같다.

거리함수의 성질 중 (iv)는 삼각부등식으로 알려져 있으며, 삼각형에서 두변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다는 사실을 일반화한 것이다. 아래 그림에서와 같이 평면 위의 서로 다른 세 점 $\displaystyle P,Q,R$이 삼각형을 이루는 경우 $\displaystyle \overline{PQ}+\overline{QR}>\overline{PR}$이고, 세 점 $\displaystyle P,Q,R$이 차례대로 일직선 위에 있는 경우에는 $\displaystyle \overline{PQ}+\overline{QR}=\overline{PR}$이 성립한다. 이로부터 삼각부등식은 거리함수의 자연스러운 성질임을 확인할 수 있다.

예제 1. 평면 위의 임의의 두 점 $\displaystyle P(x_1,y_1)$, $\displaystyle Q(x_2,y_2)$에 대하여 $\displaystyle d(P,Q)$를$\displaystyle d(P,Q)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$으로 정의하면 $\displaystyle d$는 거리함수가 된다. 성질 (i), (ii), (iii)는 쉽게 확인 가능하다. 성질 (iv)를 증명해 보자. $\displaystyle P(x_1,y_1)$, $\displaystyle Q(x_2,y_2)$, $\displaystyle R(x_3,y_3)$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}(d(P,Q)+d(Q,R))^2-(d(P,R))^2&=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2\\&\quad+2\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}\\&\quad-(x_1-x_3)^2-(y_1-y_3)^2\\&=2\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}\\&\quad-2(x_1-x_2)(x_2-x_3)-2(y_1-y_2)(y_2-y_3)\end{aligned}$이 성립한다. 코시-슈바르츠 부등식, 즉 $\displaystyle |a_1b_1+a_2b_2|\le\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}$을 적용하면 $\displaystyle (d(P,Q)+d(Q,R))^2-(d(P,R))^2\ge0$을 얻고 따라서 $\displaystyle d(P,Q)+d(Q,R)\ge d(P,R)$이 성립한다.

예제 2. 실수들의 집합에서 두 실수 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$에 대하여 $\displaystyle d(a,b)=\sqrt{|a-b|}$로 정의하면 $\displaystyle d$는 거리함수이다. 성질 (i), (ii), (iii)는 쉽게 확인 가능하며 성질 (iv)는 아래 식으로부터 확인할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}(\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|})^2-(\sqrt{|a-c|})^2&=|a-b|+|b-c|+2\sqrt{|a-b|}\sqrt{|b-c|}-|a-c|\\&\ge|a-c|+2\sqrt{|a-b|}\sqrt{|b-c|}-|a-c|\\&=2\sqrt{|a-b|}\sqrt{|b-c|}\ge0\end{aligned}$

예제 3. 실수들의 집합에서 두 실수 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$에 대하여 $\displaystyle d(a,b)=(a-b)^2$으로 정의하면 $\displaystyle d$는 거리함수가 아니다. $\displaystyle d(0,2)=2^2=4$, $\displaystyle d(0,1)=1$, $\displaystyle d(1,2)=1$로부터 성질 (iv)가 성립하지 않음을 확인할 수 있다.

(나) 세 양수가 주어졌을 때 평면에서 이 수들을 세 변의 길이로 갖는 삼각형이 존재하기 위한 필요충분조건은 가장 큰 수가 나머지 두 수의 합보다 작다는 것이다. 이 사실을 바탕으로 등비수열을 이루는 세 양수 $\displaystyle a,ar,ar^2$이 삼각형의 세 변의 길이가 되기 위한 조건을 살펴보자. 우선 $\displaystyle r\ge1$인 경우 $\displaystyle ar^2$이 가장 큰 수이므로 $\displaystyle 1+r>r^2$이다. 이를 풀면 $\displaystyle 1\le r<\varphi$이 된다. 여기서 $\displaystyle \varphi$는 황금비라 불리며 $\displaystyle \varphi^2-\varphi-1=0$을 만족하는 양의 실수이다. 한편 $\displaystyle 0<r<1$인 경우는 $\displaystyle a$가 가장 큰 수이므로 $\displaystyle r+r^2>1$이고, 이를 풀면 $\displaystyle \varphi-1<r<1$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle a,ar,ar^2$이 삼각형의 세 변의 길이가 되기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \varphi-1<r<\varphi$ 임을 알 수 있다.