자연계열 2번

[문제 2-1] $\displaystyle x_1=0,\ x_2=1,\ x_3=2$인 경우, $\displaystyle d(x_1,x_3)=\frac4{1+2}=\frac43$, $\displaystyle d(x_1,x_2)=\frac1{1+1}=\frac12$, $\displaystyle d(x_2,x_3)=\frac1{1+1}=\frac12$이다. 따라서 $\displaystyle d(x_1,x_3)>d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)$이다. 성질 (iv)가 성립하지 않으므로 거리함수가 아니다.

(i)은 자명하다. (ii) $\displaystyle f(P,Q)=0\Leftrightarrow\frac{\sqrt{d(P,Q)}}{1+\sqrt{d(P,Q)}}=0\Leftrightarrow d(P,Q)=0\Leftrightarrow P=Q$

(iii) $\displaystyle f(P,Q)=\frac{\sqrt{d(P,Q)}}{1+\sqrt{d(P,Q)}}=\frac{\sqrt{d(Q,P)}}{1+\sqrt{d(Q,P)}}=f(Q,P)$

(iv) 0 이상의 실수들의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle h(t)=\frac{\sqrt t}{1+\sqrt t}$를 생각하자. $\displaystyle h(t)=1-\frac1{1+\sqrt t}$로부터 $\displaystyle h$는 증가함수임을 알 수 있다. 세 점 $\displaystyle P(x_1,y_1)$, $\displaystyle Q(x_2,y_2)$, $\displaystyle R(x_3,y_3)$에 대하여 $\displaystyle d(P,R)\le d(P,Q)+d(Q,R)$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}f(P,R)&=\frac{\sqrt{d(P,R)}}{1+\sqrt{d(P,R)}}\\&=h(d(P,R))\le h(d(P,Q)+d(Q,R))\\&=\frac{\sqrt{d(P,Q)+d(Q,R)}}{1+\sqrt{d(P,Q)+d(Q,R)}}\\&\le\frac{\sqrt{d(P,Q)}+\sqrt{d(Q,R)}}{1+\sqrt{d(P,Q)+d(Q,R)}}\\&=\frac{\sqrt{d(P,Q)}}{1+\sqrt{d(P,Q)+d(Q,R)}}+\frac{\sqrt{d(Q,R)}}{1+\sqrt{d(P,Q)+d(Q,R)}}\end{aligned}$여기서 두 번째 부등식은 제시문 (가)의 예제 2에 의해 성립한다.한편 $\displaystyle d(P,Q)\ge0$과 $\displaystyle d(Q,R)\ge0$으로부터 부등식 $\displaystyle \frac{\sqrt{d(P,Q)}}{1+\sqrt{d(P,Q)+d(Q,R)}}\le\frac{\sqrt{d(P,Q)}}{1+\sqrt{d(P,Q)}}$와 $\displaystyle \frac{\sqrt{d(Q,R)}}{1+\sqrt{d(P,Q)+d(Q,R)}}\le\frac{\sqrt{d(Q,R)}}{1+\sqrt{d(Q,R)}}$이 성립하므로 $\displaystyle f(P,R)\le f(P,Q)+f(Q,R)$이 성립한다.

[문제 2-3] $\displaystyle \lambda=\frac ba$라 하면 $\displaystyle \lambda>0$이다. $\displaystyle AH=G^2$이므로 조화평균, 기하 평균, 산술 평균은 이 순서대로 등비수열을 이룬다. 공비 $\displaystyle r=\frac{\frac{a+b}2}{\sqrt{ab}}=\frac{1+\lambda}{2\sqrt\lambda}$라 두자. $\displaystyle 1+\lambda\ge2\sqrt\lambda$이므로 $\displaystyle r\ge1$이다. 제시문 (나)에 의하여, $\displaystyle 1\le r<\varphi$이다. 즉, $\displaystyle 1\le\frac{1+\lambda}{2\sqrt\lambda}<\varphi$이다. 이 부등식을 풀면 $\displaystyle \varphi-\sqrt\varphi<\sqrt\lambda<\varphi+\sqrt\varphi$이고 따라서

$\displaystyle (\varphi-\sqrt\varphi)^2<\lambda<(\varphi+\sqrt\varphi)^2$이다. 한편$\displaystyle \begin{aligned}(\varphi\pm\sqrt\varphi)^2&=\varphi^2+\varphi\pm2\varphi\sqrt\varphi=1+2\varphi\pm2\sqrt{\varphi^3}\\&=1+2\varphi\pm2\sqrt{\varphi^2+\varphi}=1+2\varphi\pm2\sqrt{\varphi^3}=1+2\varphi\pm2\sqrt{1+2\varphi}\end{aligned}$이므로 부등식의 해는$\displaystyle 1+2\varphi-2\sqrt{1+2\varphi}<\lambda<1+2\varphi+2\sqrt{1+2\varphi}$이다. 이로부터 답 -16을 얻는다.