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자연계열 (오후) 1번

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아주대 2015학년도 수시 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2015su/jayeon_pm_1

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문제

다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

(가) 복소수란 a+bi\displaystyle a+bi 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. 이 때 a,b\displaystyle a,b는 각각 실수부, 허수부라 불리는 실수이고 i\displaystyle i는 허수단위로서 i2=−1\displaystyle i^2=-1을 만족한다. 모든 실수는 허수부가 0인 복소수로 표시할 수 있기 때문에 복소수는 실수의 확장이라고 생각할 수 있다. 따라서 복소수에서도 실수에서 성립하는 사칙 연산을 정의할 수 있다. 특히 i2=−1\displaystyle i^2=-1이라는 조건을 이용하여 복소수의 곱셈을 다음과 같이 정의한다.(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac−bd)+(bc+ad)i\displaystyle (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i

복소수를 좌표평면 위의 점으로 생각할 수 있는데, 평면의 x\displaystyle x좌표는 실수부, y\displaystyle y좌표는 허수부로 놓으면 좌표평면 위의 점 (a,b)\displaystyle (a,b)는 복소수 a+bi\displaystyle a+bi와 대응된다. 복소수 z=a+bi\displaystyle z=a+bi의 크기 ∣z∣\displaystyle |z|는 좌표평면의 원점 O\displaystyle O로부터 그 복소수에 대응하는 점 P(a,b)\displaystyle P(a,b)까지의 거리인 a2+b2\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}으로 정의하고, z\displaystyle z의 편각 arg⁡(z)\displaystyle \arg(z)는 반직선 OP→\displaystyle \overrightarrow{OP}가 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각(반시계방향)으로 정의한다. 이때 ∣z∣\displaystyle |z|는 음이 아닌 실수이고, 임의의 정수 n\displaystyle n에 대하여 각 θ\displaystyle \theta와 2nπ+θ\displaystyle 2n\pi+\theta는 같은 도형이므로 arg⁡(z)\displaystyle \arg(z)는 여러 값을 가질 수 있다.

행렬의 곱 (a−bba)(c−ddc)=(ac−bd−bc−adbc+adac−bd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ac-bd&-bc-ad\\bc+ad&ac-bd\end{pmatrix}으로부터, 복소수 a+bi\displaystyle a+bi를 행렬 (a−bba)\displaystyle \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}에 대응시키면 복소수의 곱 (a+bi)(c+di)\displaystyle (a+bi)(c+di)와 행렬의 곱 (a−bba)(c−ddc)\displaystyle \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}는 같은 결과를 유도한다. 한편 cos⁡(arg⁡(z))=a∣z∣\displaystyle \cos(\arg(z))=\frac a{|z|}, sin⁡(arg⁡(z))=b∣z∣\displaystyle \sin(\arg(z))=\frac b{|z|}에서(a−bba)=a2+b2(aa2+b2−ba2+b2ba2+b2aa2+b2)=∣z∣(cos⁡(arg⁡(z))−sin⁡(arg⁡(z))sin⁡(arg⁡(z))cos⁡(arg⁡(z)))\displaystyle \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}=\sqrt{a^2+b^2}\begin{pmatrix}\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}&\frac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}&\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\end{pmatrix}=|z|\begin{pmatrix}\cos(\arg(z))&-\sin(\arg(z))\\\sin(\arg(z))&\cos(\arg(z))\end{pmatrix}이고, (cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}는 원점을 중심으로 반시계방향으로 θ\displaystyle \theta만큼 회전시키는 일차변환이다. 그러므로 어떤 복소수에 z\displaystyle z를 곱하는 것은 그 크기를 ∣z∣\displaystyle |z|배만큼 늘리고, 편각을 arg⁡(z)\displaystyle \arg(z)만큼 더하는 변환으로 이해할 수 있다. 즉, 두 복소수 z,w\displaystyle z,w의 곱 사이에는∣zw∣=∣z∣∣w∣,arg⁡(zw)=arg⁡(z)+arg⁡(w)\displaystyle |zw|=|z||w|,\quad\arg(zw)=\arg(z)+\arg(w)가 성립한다. 또한, 이 사실로부터 복소수의 곱셈에 대한 교환법칙이 성립함을 알 수 있다.

예제 1. z3=1\displaystyle z^3=1을 만족하는 z\displaystyle z를 모두 구해보자. ∣z∣3=∣z3∣=∣1∣=1\displaystyle |z|^3=|z^3|=|1|=1이므로 ∣z∣=1\displaystyle |z|=1이고, 3arg⁡(z)=arg⁡(z3)=arg⁡(1)=2nπ\displaystyle 3\arg(z)=\arg(z^3)=\arg(1)=2n\pi (단, n\displaystyle n은 정수)이므로 arg⁡(z)=2n3π\displaystyle \arg(z)=\frac{2n}3\pi이다. 이 중 평면 위에서 서로 다른 각은 0,2π3,4π3\displaystyle 0,\frac{2\pi}3,\frac{4\pi}3이므로 z\displaystyle z는 1, cos⁡(2π3)+isin⁡(2π3)=−12+32i\displaystyle \cos(\frac{2\pi}3)+i\sin(\frac{2\pi}3)=-\frac12+\frac{\sqrt3}2i, cos⁡(4π3)+isin⁡(4π3)=−12−32i\displaystyle \cos(\frac{4\pi}3)+i\sin(\frac{4\pi}3)=-\frac12-\frac{\sqrt3}2i이다.

(나) 좌표평면 위의 점이 다음 [규칙]을 따라 이동한다.

[규칙]· 버튼A를 누르면 좌표평면 상의 점 (a,b)\displaystyle (a,b)가 점 (a2,b2)\displaystyle (\frac a2,\frac b2)로 이동· 버튼B를 누르면 좌표평면 상의 점 (a,b)\displaystyle (a,b)가 점 (a−b,a+b)\displaystyle (a-b,a+b)로 이동· 버튼C를 누르면 좌표평면 상의 점 (a,b)\displaystyle (a,b)가 점 (2a−b,a+2b)\displaystyle (2a-b,a+2b)로 이동· 버튼D를 누르면 좌표평면 상의 점 (a,b)\displaystyle (a,b)가 점 (3a−b,a+3b)\displaystyle (3a-b,a+3b)로 이동

예를 들어 점 (2,2)\displaystyle (2,2)를 시작으로 버튼A, 버튼B, 버튼C, 버튼D를 한번 씩 누르면 아래와 같이 이동한다.(2,2)→버튼A(1,1)→버튼B(0,2)→버튼C(−2,4)→버튼D(−10,10)\displaystyle (2,2)\xrightarrow{\text{버튼A}}(1,1)\xrightarrow{\text{버튼B}}(0,2)\xrightarrow{\text{버튼C}}(-2,4)\xrightarrow{\text{버튼D}}(-10,10)

한편 버튼B는 (a,b)\displaystyle (a,b)를 (a−b,a+b)\displaystyle (a-b,a+b)로 보내는 일차변환이고 이 일차변환의 행렬은 (1−111)\displaystyle \begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}이다. 이 행렬과 대응되는 복소수는 1+i\displaystyle 1+i이므로 버튼B를 누르는 것은 a+bi\displaystyle a+bi에 1+i\displaystyle 1+i를 곱하는 것으로 이해할 수 있다.

예제 2. 점 (1,0)\displaystyle (1,0)은 버튼 B를 다섯 번 눌렀을 때 어느 위치로 이동할까? 점 (1,0)\displaystyle (1,0)은 복소수 1+0i\displaystyle 1+0i와 대응되고, 버튼 B를 다섯 번 누르는 것은 (1+i)5=−4−4i\displaystyle (1+i)^5=-4-4i를 곱하는 것과 같으므로 최종 위치는 −4−4i\displaystyle -4-4i와 대응되는 점인 (−4,−4)\displaystyle (-4,-4)가 된다.

[문제 1-1] <15점> z6=8i\displaystyle z^6=8i의 해 중 실수부와 허수부가 모두 음수인 해들의 합을 구하라. (단, cos⁡(π12)=6+24\displaystyle \cos(\frac\pi{12})=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4)

[문제 1-2] <15점> 제시문 (나)에서 좌표평면 위의 점 (1,0)\displaystyle (1,0)을 버튼A만 2015번 눌러 이동시킨 뒤, 이어서 버튼B만 2016번, 이어서 버튼C만 2017번, 또 이어서 버튼D만 2018번 눌러 이동시켰을 때 마지막 점의 위치가 (x,y)\displaystyle (x,y)라고 하자. ∣x−y∣\displaystyle |x-y|는 몇 자리수인지 답하라. (단, log⁡102=0.3010\displaystyle \log_{10}2=0.3010)

[문제 1-3] <20점> 복소수들의 집합 A={z∣∣z∣≤2, π2−π2015≤arg⁡(z)≤π2}\displaystyle A=\{z\mid|z|\le2,\ \frac\pi2-\frac\pi{2015}\le\arg(z)\le\frac\pi2\}를 생각하자. 자연수 k\displaystyle k에 대하여 Ak\displaystyle A_k를 A1=A\displaystyle A_1=A, A2={z2∣z∈A}\displaystyle A_2=\{z^2\mid z\in A\}, A3={z3∣z∈A}\displaystyle A_3=\{z^3\mid z\in A\},… 와 같이 정의하고, Tk=A1∪A2∪⋯∪Ak\displaystyle T_k=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_k라 하며, 좌표평면에서 Tk\displaystyle T_k에 대응하는 영역의 넓이를 tk\displaystyle t_k라 하자. 다음 성질을 만족하는 최소의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 tn22015π\displaystyle \frac{t_n}{2^{2015}\pi}의 정수부분을 구하라.Tn\displaystyle T_n은 크기 2 이하인 복소수들을 모두 포함한다, 즉 {z∣∣z∣≤2}⊂Tn\displaystyle \{z\mid|z|\le2\}\subset T_n.

해설강의 준비중

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[문제 1-1] ∣z∣6=∣z6∣=∣8i∣=23\displaystyle |z|^6=|z^6|=|8i|=2^3이고 ∣z∣≥0\displaystyle |z|\ge0이므로 ∣z∣=2\displaystyle |z|=\sqrt2이다.

또한 6arg⁡(z)=arg⁡(z6)=arg⁡(8i)=π2+2nπ\displaystyle 6\arg(z)=\arg(z^6)=\arg(8i)=\frac\pi2+2n\pi이므로 arg⁡(z)=π3n+π12\displaystyle \arg(z)=\frac\pi3n+\frac\pi{12}가 성립한다. 따라서 위 식의 해인 6개의 편각은 π12,5π12,3π4,13π12,17π12,7π4\displaystyle \frac\pi{12},\frac{5\pi}{12},\frac{3\pi}4,\frac{13\pi}{12},\frac{17\pi}{12},\frac{7\pi}4이다. 이 중 실수부와 허수부가 모두 음수인 것에 해당하는 각은 제3사분면에 해당하는 각인 13π12,17π12\displaystyle \frac{13\pi}{12},\frac{17\pi}{12}이다. 문제의 조건을 만족하는 해들은 z=2(cos⁡(13π12)+isin⁡(13π12))\displaystyle z=\sqrt2(\cos(\frac{13\pi}{12})+i\sin(\frac{13\pi}{12})), z=2(cos⁡(17π12)+isin⁡(17π12))\displaystyle z=\sqrt2(\cos(\frac{17\pi}{12})+i\sin(\frac{17\pi}{12}))이다. 한편 cos⁡(π12)=6+24\displaystyle \cos(\frac\pi{12})=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4이므로 삼각함수의 제곱공식으로부터 sin⁡(π12)=6−24\displaystyle \sin(\frac\pi{12})=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4이다. 이를 이용하여 13π12=π+π12\displaystyle \frac{13\pi}{12}=\pi+\frac\pi{12}, 17π12=3π2−π12\displaystyle \frac{17\pi}{12}=\frac{3\pi}2-\frac\pi{12}의 삼각함수 값을 계산하면 cos⁡(13π12)=−6+24\displaystyle \cos(\frac{13\pi}{12})=-\frac{\sqrt6+\sqrt2}4, sin⁡(13π12)=−6−24\displaystyle \sin(\frac{13\pi}{12})=-\frac{\sqrt6-\sqrt2}4, cos⁡(17π12)=−6−24\displaystyle \cos(\frac{17\pi}{12})=-\frac{\sqrt6-\sqrt2}4, sin⁡(17π12)=−6+24\displaystyle \sin(\frac{17\pi}{12})=-\frac{\sqrt6+\sqrt2}4이다. 따라서 문제의 조건을 만족하는 해들의 합은 −3−3i\displaystyle -\sqrt3-\sqrt3i이다.

[문제 1-2] 버튼 A, B, C, D를 누르는 것은 각각 a+bi\displaystyle a+bi에 12\displaystyle \frac12, 1+i\displaystyle 1+i, 2+i\displaystyle 2+i, 3+i\displaystyle 3+i를 곱하는 것과 같다. 복소수의 곱은 순서에 무관하므로 문제에서의 시행은 버튼A, 버튼B, 버튼C, 버튼D를 차례대로 누르는 시행을 2015번 반복한 후 버튼B를 한번, 버튼C를 두 번, 버튼D를 세 번 누르는 것과 같다.

한편, 12(1+i)(2+i)(3+i)=5i\displaystyle \frac12(1+i)(2+i)(3+i)=5i이므로 이를 2015번 반복하면 (5i)2015=52015i3=−52015i\displaystyle (5i)^{2015}=5^{2015}i^3=-5^{2015}i가된다. (1+i)(2+i)2(3+i)3=−200+100i\displaystyle (1+i)(2+i)^2(3+i)^3=-200+100i이므로, 점(1,0)\displaystyle (1,0)에 해당하는 복소수 1에 앞에서 계산하여 얻어진 수들을 곱하면 4×52017+8×52017i\displaystyle 4\times5^{2017}+8\times5^{2017}i가 된다. 따라서 마지막 점의 위치는 (4×52017,8×52017)\displaystyle (4\times5^{2017},8\times5^{2017})이므로, ∣x−y∣=4×52017\displaystyle |x-y|=4\times5^{2017}이다. 또한 log⁡10(4×52017)=2017−2015×log⁡102=1410.485\displaystyle \log_{10}(4\times5^{2017})=2017-2015\times\log_{10}2=1410.485 이므로 ∣x−y∣\displaystyle |x-y|는 1411자리수이다.

[문제 1-3] 1≤k≤4030\displaystyle 1\le k\le4030인 k\displaystyle k에 대하여 Ak\displaystyle A_k에 대응하는 영역은 반지름이 2k\displaystyle 2^k이고 중심각이 kπ2015\displaystyle \frac{k\pi}{2015}인 부채꼴 모양이다. 특히, k=4m+ℓ\displaystyle k=4m+\ell (ℓ=0,1,2,3\displaystyle \ell=0,1,2,3) 꼴이라면 Ak\displaystyle A_k는 제ℓ\displaystyle \ell사분면에서 축으로부터 시계방향으로 kπ2015\displaystyle \frac{k\pi}{2015}만큼 벌어진 모양이다. 반지름이 2인 원을 완전히 덮기 위해서는 각 사분면에 포함된 사분원을 덮어야 하므로 kπ2015≥π2\displaystyle \frac{k\pi}{2015}\ge\frac\pi2가 성립해야 한다. 따라서 k=1008\displaystyle k=1008일 때, 처음으로 하나의 사분원을 덮게 되고, 네 개의 사분원을 모두 덮기 위한 최소의 n\displaystyle n은 1008+3=1011\displaystyle 1008+3=1011이다. 이때 도형의 모양은 아래 그림과 같다.

1011번까지 합친 복소수 영역의 모양

반지름이 R\displaystyle R이고 중심각이 θ\displaystyle \theta인 부채꼴의 넓이는 R2θ2\displaystyle \frac{R^2\theta}2 이므로,t1011=(21008)22(π2−3π4030)+(21009)22(π2−2π4030)+(21010)22(π2−2π4030)+(21011)22(π2+7π4030)\displaystyle t_{1011}=\frac{(2^{1008})^2}2(\frac\pi2-\frac{3\pi}{4030})+\frac{(2^{1009})^2}2(\frac\pi2-\frac{2\pi}{4030})+\frac{(2^{1010})^2}2(\frac\pi2-\frac{2\pi}{4030})+\frac{(2^{1011})^2}2(\frac\pi2+\frac{7\pi}{4030})이다. 따라서t101122015π=(12−34030)+22(12−24030)+24(12−24030)+26(12+74030)=(2+8+32)+2015−3−8−32+64×74030\displaystyle \begin{aligned}\frac{t_{1011}}{2^{2015}\pi}&=(\frac12-\frac3{4030})+2^2(\frac12-\frac2{4030})+2^4(\frac12-\frac2{4030})+2^6(\frac12+\frac7{4030})\\&=(2+8+32)+\frac{2015-3-8-32+64\times7}{4030}\end{aligned}이므로 이 수의 정수부분은 42이다.

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