자연계열 (오후) 1번

[문제 1-1] $\displaystyle |z|^6=|z^6|=|8i|=2^3$이고 $\displaystyle |z|\ge0$이므로 $\displaystyle |z|=\sqrt2$이다.

또한 $\displaystyle 6\arg(z)=\arg(z^6)=\arg(8i)=\frac\pi2+2n\pi$이므로 $\displaystyle \arg(z)=\frac\pi3n+\frac\pi{12}$가 성립한다. 따라서 위 식의 해인 6개의 편각은 $\displaystyle \frac\pi{12},\frac{5\pi}{12},\frac{3\pi}4,\frac{13\pi}{12},\frac{17\pi}{12},\frac{7\pi}4$이다. 이 중 실수부와 허수부가 모두 음수인 것에 해당하는 각은 제3사분면에 해당하는 각인 $\displaystyle \frac{13\pi}{12},\frac{17\pi}{12}$이다. 문제의 조건을 만족하는 해들은 $\displaystyle z=\sqrt2(\cos(\frac{13\pi}{12})+i\sin(\frac{13\pi}{12}))$, $\displaystyle z=\sqrt2(\cos(\frac{17\pi}{12})+i\sin(\frac{17\pi}{12}))$이다. 한편 $\displaystyle \cos(\frac\pi{12})=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$이므로 삼각함수의 제곱공식으로부터 $\displaystyle \sin(\frac\pi{12})=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$이다. 이를 이용하여 $\displaystyle \frac{13\pi}{12}=\pi+\frac\pi{12}$, $\displaystyle \frac{17\pi}{12}=\frac{3\pi}2-\frac\pi{12}$의 삼각함수 값을 계산하면 $\displaystyle \cos(\frac{13\pi}{12})=-\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$, $\displaystyle \sin(\frac{13\pi}{12})=-\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$, $\displaystyle \cos(\frac{17\pi}{12})=-\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$, $\displaystyle \sin(\frac{17\pi}{12})=-\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$이다. 따라서 문제의 조건을 만족하는 해들의 합은 $\displaystyle -\sqrt3-\sqrt3i$이다.

[문제 1-2] 버튼 A, B, C, D를 누르는 것은 각각 $\displaystyle a+bi$에 $\displaystyle \frac12$, $\displaystyle 1+i$, $\displaystyle 2+i$, $\displaystyle 3+i$를 곱하는 것과 같다. 복소수의 곱은 순서에 무관하므로 문제에서의 시행은 버튼A, 버튼B, 버튼C, 버튼D를 차례대로 누르는 시행을 2015번 반복한 후 버튼B를 한번, 버튼C를 두 번, 버튼D를 세 번 누르는 것과 같다.

한편, $\displaystyle \frac12(1+i)(2+i)(3+i)=5i$이므로 이를 2015번 반복하면 $\displaystyle (5i)^{2015}=5^{2015}i^3=-5^{2015}i$가된다. $\displaystyle (1+i)(2+i)^2(3+i)^3=-200+100i$이므로, 점$\displaystyle (1,0)$에 해당하는 복소수 1에 앞에서 계산하여 얻어진 수들을 곱하면 $\displaystyle 4\times5^{2017}+8\times5^{2017}i$가 된다. 따라서 마지막 점의 위치는 $\displaystyle (4\times5^{2017},8\times5^{2017})$이므로, $\displaystyle |x-y|=4\times5^{2017}$이다. 또한 $\displaystyle \log_{10}(4\times5^{2017})=2017-2015\times\log_{10}2=1410.485$ 이므로 $\displaystyle |x-y|$는 1411자리수이다.

[문제 1-3] $\displaystyle 1\le k\le4030$인 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle A_k$에 대응하는 영역은 반지름이 $\displaystyle 2^k$이고 중심각이 $\displaystyle \frac{k\pi}{2015}$인 부채꼴 모양이다. 특히, $\displaystyle k=4m+\ell$ ($\displaystyle \ell=0,1,2,3$) 꼴이라면 $\displaystyle A_k$는 제$\displaystyle \ell$사분면에서 축으로부터 시계방향으로 $\displaystyle \frac{k\pi}{2015}$만큼 벌어진 모양이다. 반지름이 2인 원을 완전히 덮기 위해서는 각 사분면에 포함된 사분원을 덮어야 하므로 $\displaystyle \frac{k\pi}{2015}\ge\frac\pi2$가 성립해야 한다. 따라서 $\displaystyle k=1008$일 때, 처음으로 하나의 사분원을 덮게 되고, 네 개의 사분원을 모두 덮기 위한 최소의 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 1008+3=1011$이다. 이때 도형의 모양은 아래 그림과 같다.

반지름이 $\displaystyle R$이고 중심각이 $\displaystyle \theta$인 부채꼴의 넓이는 $\displaystyle \frac{R^2\theta}2$ 이므로,$\displaystyle t_{1011}=\frac{(2^{1008})^2}2(\frac\pi2-\frac{3\pi}{4030})+\frac{(2^{1009})^2}2(\frac\pi2-\frac{2\pi}{4030})+\frac{(2^{1010})^2}2(\frac\pi2-\frac{2\pi}{4030})+\frac{(2^{1011})^2}2(\frac\pi2+\frac{7\pi}{4030})$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\frac{t_{1011}}{2^{2015}\pi}&=(\frac12-\frac3{4030})+2^2(\frac12-\frac2{4030})+2^4(\frac12-\frac2{4030})+2^6(\frac12+\frac7{4030})\\&=(2+8+32)+\frac{2015-3-8-32+64\times7}{4030}\end{aligned}$이므로 이 수의 정수부분은 42이다.