자연계열 1번

[문제1-1] 원 $\displaystyle C(O)$위를 움직이는 점 $\displaystyle P$와 곡선 $\displaystyle F$위를 움직이는 점 $\displaystyle Q$를 생각했을 때 $\displaystyle \overline{PQ}$가 최솟값을 가질 때는 $\displaystyle \overline{PQ}$를 연장한 직선이 원의 중심(원점)을 지나야 한다. 따라서 원점 $\displaystyle O$에서 $\displaystyle F$위의 점 $\displaystyle Q$에 대하여 $\displaystyle \overline{OQ}$의 최솟값을 구하면 충분하다.

원점과 곡선위의 점 $\displaystyle Q(x,y)$사이의 거리를 $\displaystyle x$에 대한 함수 $\displaystyle d(x)$로 놓으면,$\displaystyle d(x)^2=x^2+y^2=x^2+(x^2-3x+3)^2$이다. 함수의 최솟값은 그 함수의 극솟값에서 나온다. 이 함수의 극솟값을 구하기 위해서 $\displaystyle x$로 미분해보면 $\displaystyle 2(x-1)(2x^2-7x+9)$이 되므로 $\displaystyle x=1$이 유일한 극값이다.

$\displaystyle x=1$에서 $\displaystyle d(x)^2=2$이므로 $\displaystyle \overline{OQ}$의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt2$이다.

따라서 $\displaystyle \overline{PQ}$가 최솟값은 $\displaystyle \sqrt2-1$이다.

$\displaystyle x\ge2$일 때 내부에 정사각형 만들어지고 구하는 넓이는 (정사각형 외부의 넓이) + (정사각형의 넓이) - (내부의 정사각형의 넓이) 한편 내부의 정사각형의 한 변의 길이는 $\displaystyle x-2$이므로, $\displaystyle 4x+\pi+x^2-(x-2)^2=8x+\pi-4$ 따라서① $\displaystyle \begin{cases}x^2+4x+\pi,&x\le2\text{일 때}\\8x+\pi-4,&x\ge2\text{일 때}\end{cases}$

(2) 명제 ②는 참:

각 변의 길이가 $\displaystyle ar,br$인 직사각형의 외부도형의 넓이는 $\displaystyle 2(a+b)r+\pi$, 둘레의 길이는 $\displaystyle 2(a+b)r$이므로 $\displaystyle r$에 대한 증가함수.(i) 내부가 비어있는 경우 넓이는 $\displaystyle (abr^2-(ar-2)(br-2))+\{2(a+b)r+\pi\}=4(a+b)r+\pi-4$(ii) 내부가 채워진 경우 넓이는 $\displaystyle abr^2+2(a+b)r+\pi$(i),(ii)로부터 넓이는 $\displaystyle r$에 대한 증가함수이므로 ②는 참.

명제 ③은 거짓: 반례를 들어야 한다.

예를들어$\displaystyle \begin{array}{c|c|c}\text{변의 길이}&F\text{의 둘레의 길이}&C(F)\text{의 넓이}\\4,4,4,4&16&28+\pi\\8,1,8,1&18&26+\pi\end{array}$

[문제1-3] (1) 점 $\displaystyle R$을 중심으로 하는 단위원과 $\displaystyle R$로부터 거리가 1인 평행선이 만나는 점을 $\displaystyle T$라 하자. $\displaystyle C(L)$의 개형이 [그림 3]과 같기 위해선 $\displaystyle \overline{PT}=\sqrt2(1-x)\le1$이어야 한다. 따라서,$\displaystyle 1-\frac1{\sqrt2}\le x\le\frac12$인 범위에서 [그림 3]의 개형이 나타난다.

이때 각 $\displaystyle \angle CPE=\angle DRB$이므로 부채꼴 $\displaystyle PEC$와 부채꼴 $\displaystyle RDB$의 넓이는 서로 같다. 따라서 이 도형의 위와 같이 색칠된 부분의 넓이는 원 $\displaystyle C(P)$와 $\displaystyle C(R)$이 이루는 도형의 절반과 같다. 한편 $\displaystyle \overline{PR}$의 중점을 $\displaystyle H$라 하면, 원의 성질에서 $\displaystyle \overline{SH}$는 $\displaystyle \overline{PR}$을 수직이등분 한다. $\displaystyle \overline{PR}=\sqrt{x^2+(1-x)^2}$, $\displaystyle \overline{PS}=1$이므로$\displaystyle \cos\theta=\overline{PH}=\frac{\sqrt{x^2+(1-x)^2}}2$ (*)이다.

따라서 색칠된 영역의 넓이는$\displaystyle 2\times\frac{\pi-\theta}2+2\times\frac{\overline{SH}\times\overline{PH}}2=\pi-\theta+\cos\theta\cdot\sin\theta=\pi-\theta+\frac{\sin(2\theta)}2$

이제 $\displaystyle C(L)$의 나머지 부분의 넓이를 구한다. 두 부채꼴의 넓이의 합은 $\displaystyle \frac\pi2$이고 두 직사각형의 넓이의 합은 $\displaystyle x+1-x=1$이고, 삼각형의 넓이가 $\displaystyle \frac{x(1-x)}2$이다.

(*)에서 $\displaystyle (2\cos\theta)^2=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1$이므로 반각공식 $\displaystyle \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}2$을 쓰면 $\displaystyle 4\frac{1+\cos2\theta}2=2x(x-1)+1$ 정리하면 $\displaystyle \frac{x(1-x)}2=-\frac{\cos(2\theta)}2-\frac14$이므로 $\displaystyle C(L)$의 넓이 $\displaystyle S(\theta)$는$\displaystyle S(\theta)=\pi-\theta+\frac{\sin(2\theta)}2+\frac\pi2+1-\frac{\cos2\theta}2-\frac14=\frac34+\frac32\pi-\theta+\frac{\sin(2\theta)-\cos(2\theta)}2$따라서 $\displaystyle S(\theta)=\frac34+\frac32\pi-\theta+\frac{\sin(2\theta)-\cos(2\theta)}2$.

한편 $\displaystyle \frac\pi4<\theta<\frac\pi2$ 범위에서 $\displaystyle \cos x$는 감소함수이므로, 역시 (2)번에서 구한 (*)에서 $\displaystyle x$가 커지면 $\displaystyle \theta$도 커지고 그 역도 성립한다. 따라서 $\displaystyle g(x)=S(\theta)$는 $\displaystyle x$가 커지면 감소한다.Correction. 이 문장의 $\displaystyle \cos x$는 $\displaystyle \cos\theta$를 뜻한다. 식 (*)에서 $\displaystyle \cos\theta$가 $\displaystyle x$에 따라 감소하므로 $\displaystyle \theta$가 증가한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.