자연계열 2번

아주대 2016학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2016su/jayeon_2

다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

어떤 구조물을 만들 때 도형을 접을 수 있게 만들면 구조물의 모양과 크기를 적당히 조절할 수 있어서 여러 분야에서 활용도가 높다. 실제 산업에서 쓰이는 구조물을 수학적으로 분석해 보자.한 변의 길이가 1인 정육각형 $\displaystyle ABCDEF$ 의 서로 인접하지 않은 세 변을 택하여 한 변의 길이가 1인 정사각형 $\displaystyle AFQR,CBIJ,EDMN$ 을 붙이자. 직사각형 $\displaystyle BAGH,DCKL,FEOP$ 를 나머지 세 변에 붙여서 $\displaystyle H,I,J,K$ 가 한직선 상에 있고, 마찬가지로 $\displaystyle L,M,N,O$ 및 $\displaystyle P,Q,R,G$ 도 각각 일직선 위에 있도록 만들면 [그림 1]과 같은 전개도를 가진 도형이 얻어진다. 이때 선이 있는 부분을 접을 수 있게 만들면, 이 도형 여러 개를 이어 붙여 [그림 2]와 같은 기동성있는 구조물을 만들 수 있다.

[그림 1]의 전개도를 선을 따라 접어서 $\displaystyle R$ 과 $\displaystyle I$ , $\displaystyle J$ 와 $\displaystyle M$ , $\displaystyle N$ 과 $\displaystyle Q$ 가 각각 만나게 겹쳐 [그림 3]처럼 만들 수 있다. [그림 3]에서 $\displaystyle R$ 과 $\displaystyle I$ 가 겹쳐서 생긴 점을 $\displaystyle S$ , $\displaystyle J$ 와 $\displaystyle M$ 이 겹쳐서 생긴 점을 $\displaystyle T$ , $\displaystyle N$ 과 $\displaystyle Q$ 가 겹쳐서 생긴 점을 $\displaystyle U$ 라 했을 때 $\displaystyle \triangle STU$ 는 정삼각형이 된다. 이때 구조물을 다른 시각에서 보면 [그림 4]와 같이 보인다.

이런 입체도형을 다룰 때 이면각의 개념은 많은 도움이 된다. 직선 $\displaystyle \ell$ 을 공유하는 두 반평면 $\displaystyle V,W$ 로 이루어진 도형을 이면각이라 하며, 직선 $\displaystyle \ell$ 을 이면각의 변, $\displaystyle V,W$ 를 이면각의 면이라 한다. 이면각의 변 $\displaystyle \ell$ 위의 한 점 $\displaystyle Z$ 를 지나고 $\displaystyle \ell$ 에 수직인 두 선분 $\displaystyle ZX$ 와 $\displaystyle ZY$ 를 각각 $\displaystyle V,W$ 위에 그리면 $\displaystyle \angle XZY$ 의 크기는 점 $\displaystyle Z$ 의 위치에 관계없이 일정하다. 이 각의 크기를 이면각의 크기라고 한다.

[문제 2-1] (20점) [그림 1]의 두 면 $\displaystyle AFQR$ 과 $\displaystyle ABCDEF$ 가 [그림 3]처럼 접힌 후 생기는 이면각의 크기 $\displaystyle \alpha$ 와 이때 새롭게 만들어지는 삼각형 $\displaystyle ABS$ 와 면 $\displaystyle ABCDEF$ 의 이면각의 크기를 $\displaystyle \beta$ 라 할 때 $\displaystyle \cos\alpha$ 와 $\displaystyle \cos\beta$ 를 구하여라.

[문제 2-2] (10점) [그림 1]의 전개도를 [그림 3]처럼 접었을 때 생기는 정삼각형 $\displaystyle STU$ 를 포함하는 평면은 면 $\displaystyle ABCDEF$ 를 포함하는 평면과 평행하다. 점 $\displaystyle S$ 와 면 $\displaystyle ABCDEF$ 를 포함하는 평면사이의 거리를 구하여라.

[문제 2-3] (20점) [그림 1]의 전개도를 [그림 3]처럼 접어서 만들어진 입체도형을 [그림 4]처럼 뒤집어 $\displaystyle xy$ -평면 위에 세우면 면 $\displaystyle ABCDEF$ 의 모든 점의 높이, 즉 $\displaystyle z$ -좌표는 동일하다. 이 값을 구하여라.

해설강의 준비중

심화 종이접기와 이면각

관련 개념강의 준비중

아주대 2016학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2016su/jayeon_2

[문제 2-1]

오른쪽 그림과 같이 제시문의 [그림 3]을 위에서 내려다 본 모양을 생각하자. 면 $\displaystyle ABCDEF$ 는 정6각형이므로 좌표평면에 $\displaystyle F(1,0),\ A(\frac12,\frac{\sqrt3}2),\ B(-\frac12,\frac{\sqrt3}2),$ $\displaystyle C(-1,0),\ D(-\frac12,-\frac{\sqrt3}2),\ E(\frac12,-\frac{\sqrt3}2),$ $\displaystyle S^{\prime},T^{\prime},U^{\prime}$ 은 $\displaystyle S,T,U$ 의 정사영이 되게 놓자. 그러면 사각형 $\displaystyle AS^{\prime}U^{\prime}F$ , $\displaystyle BS^{\prime}T^{\prime}C$ , $\displaystyle DT^{\prime}U^{\prime}E$ 는 직사각형이다. $\displaystyle \angle BAF=120^{\circ}$ , $\displaystyle \angle S^{\prime}AF=90^{\circ}$ 이므로 $\displaystyle \angle S^{\prime}AB=30^{\circ}$

+10점 · [문제 2-1]

\displaystyle \cos\alpha

(그냥 답이 맞아도)

이제 $\displaystyle \overline{S^{\prime}A}=\frac{\frac12}{\cos30^{\circ}}=\frac1{\sqrt3}$ 이므로 이면각의 크기의 정의로부터 $\displaystyle 1\times\cos\alpha=\frac1{\sqrt3}$ 이므로 $\displaystyle \cos\alpha=\frac1{\sqrt3}$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle \cos\beta

(그냥 답이 맞아도)

또한 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 높이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2$ 이고 $\displaystyle \overline{S^{\prime}V}=\overline{AS^{\prime}}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt3}6$ 이므로 이면각의 크기의 정의로부터 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2\times\cos\beta=\frac{\sqrt3}6$ 이므로 $\displaystyle \cos\beta=\frac13$ 을 얻는다.따라서 $\displaystyle \cos\alpha=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}3$ , $\displaystyle \cos\beta=\frac13$ 이다.

[문제 2-2]

+10점 · [문제 2-2]

\displaystyle \sqrt{\frac23}

(그냥 답이 맞아도)

점 $\displaystyle S$ 의 면 $\displaystyle ABCDEF$ 로의 정사영을 $\displaystyle S^{\prime}$ 이라 하면 $\displaystyle \triangle SAS^{\prime}$ 은 직각삼각형이고, 점 $\displaystyle S$ 와 면 $\displaystyle ABCDEF$ 를 포함하는 평면사이의 거리는 $\displaystyle \overline{AR}\sin\alpha=1\times\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-(\frac1{\sqrt3})^2}=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}3$

[문제 2-3]

입체도형 $\displaystyle U-EFPO$ 의 모양은 오른 쪽과 같으며 $\displaystyle EFPO$ 를 밑변에 두고 수직으로 위에서 바라본 모양을 평면에 나타내면 다음과 같다.

+5점 · [문제 2-3]

\displaystyle \cos\delta=\frac1{\sqrt3}

$\displaystyle \delta$ 와 $\displaystyle \gamma$ 를 각각 면 $\displaystyle EFPO$ 와 삼각형 $\displaystyle EFU$ 및 $\displaystyle EOU$ 와 만들어지는 평면과의 이면각이라 하면, $\displaystyle \frac{\sqrt3}2\cos\delta=\frac12$ 에서 $\displaystyle \cos\delta=\frac1{\sqrt3}$

+5점

(참고 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2\cos\gamma=\frac12$ 에서 $\displaystyle \cos\gamma=\frac1{\sqrt3}$ )

+10점 ·

\displaystyle 2\sqrt{\frac23}

따라서 $\displaystyle U$ 의 높이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2\tan\delta=\frac{\sqrt3}2\sqrt{\sec^2\delta-1}=\frac{\sqrt3}2\sqrt{(\sqrt3)^2-1}=\frac{\sqrt6}2$ Correction. 점 $\displaystyle U$ 의 높이를 구하는 중간 식에서 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2\tan\delta$ 는 $\displaystyle \frac12\tan\delta$ 이어야 한다. $\displaystyle \frac{\sqrt3}2$ 는 기울어진 삼각형의 높이이므로 여기에 $\displaystyle \sin\delta$ 를 곱해도 같은 값 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2$ 를 얻는다. 이 중간 높이는 마지막 답을 계산할 때 사용하지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.면 $\displaystyle EFPO$ 와 면 $\displaystyle ABCDEF$ 의 이면각은 $\displaystyle \beta+\delta$ 이다.따라서 $\displaystyle \cos(\beta+\delta)=\cos\beta\cos\delta-\sin\beta\sin\delta=\frac13\frac1{\sqrt3}-\sqrt{1-\frac19}\sqrt{1-\frac13}=-\frac1{\sqrt3}$ 이제 구하는 면 $\displaystyle ABCDEF$ 의 모든 점의 높이는 $\displaystyle 2\cos(\beta+\delta-90^{\circ})=2\sin(\beta+\delta)=2\sqrt{1-\cos^2(\beta+\delta)}=2\sqrt{1-\frac13}=2\sqrt{\frac23}=\frac{2\sqrt6}3$

[문제 2-1] 부분점수) 오른쪽 그림을 그렸고 답이 틀려도 6점. 정사영의 넓이 공식에서 두 개의 넓이 당 3점씩. 정삼각형이나 직사각형 높이 비교에서 밑변의 길이가 같음을 언급하면 3점. 정삼각형이나 직사각형 높이 계산이 맞으면 각 3점.

[문제 2-2] 부분점수) $\displaystyle \triangle SAS^{\prime}$ 은 직각삼각형임을 언급 5점. $\displaystyle \overline{AR}\sin\alpha$ 1점, $\displaystyle =1\times\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ 2점, $\displaystyle =\sqrt{1-(\frac1{\sqrt3})^2}$ 1점, $\displaystyle =\sqrt{\frac23}$ 1점.

참고) [문제 2-1]에서 구하는 높이를 계산했을 수도 있으므로 해당 항목에서 푼 것을 이 항목에서 채점함.

[문제 2-3] 부분점수) 삼각함수의 덧셈정리 쓰거나 또는 두 이면각을 합하여 구하려고 했으면 5점. 오른쪽의 그림을 그렸으면 5점. $\displaystyle U$ 의 높이 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2\tan\delta=\frac{\sqrt6}2$ 구했으면 5점. 면 $\displaystyle EFPO$ 와 면 $\displaystyle ABCDEF$ 의 이면각은 $\displaystyle \beta+\delta$ 5점.

참고) $\displaystyle \delta$ 가 아니라 보각을 이용하여서도 구할 수 있으므로, 이에 대해서는 각자 이에 준하는 채점 기준 참고.

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