자연계열 2번

이제 $\displaystyle \overline{S^{\prime}A}=\frac{\frac12}{\cos30^{\circ}}=\frac1{\sqrt3}$이므로 이면각의 크기의 정의로부터 $\displaystyle 1\times\cos\alpha=\frac1{\sqrt3}$이므로 $\displaystyle \cos\alpha=\frac1{\sqrt3}$이다. 또한 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 높이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2$이고 $\displaystyle \overline{S^{\prime}V}=\overline{AS^{\prime}}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt3}6$이므로 이면각의 크기의 정의로부터 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2\times\cos\beta=\frac{\sqrt3}6$이므로 $\displaystyle \cos\beta=\frac13$을 얻는다.따라서 $\displaystyle \cos\alpha=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}3$, $\displaystyle \cos\beta=\frac13$이다.

점 $\displaystyle S$의 면 $\displaystyle ABCDEF$로의 정사영을 $\displaystyle S^{\prime}$이라 하면 $\displaystyle \triangle SAS^{\prime}$은 직각삼각형이고, 점 $\displaystyle S$와 면 $\displaystyle ABCDEF$를 포함하는 평면사이의 거리는$\displaystyle \overline{AR}\sin\alpha=1\times\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-(\frac1{\sqrt3})^2}=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}3$

$\displaystyle \delta$와 $\displaystyle \gamma$를 각각 면 $\displaystyle EFPO$와 삼각형 $\displaystyle EFU$ 및 $\displaystyle EOU$와 만들어지는 평면과의 이면각이라 하면,$\displaystyle \frac{\sqrt3}2\cos\delta=\frac12$에서 $\displaystyle \cos\delta=\frac1{\sqrt3}$(참고 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2\cos\gamma=\frac12$에서 $\displaystyle \cos\gamma=\frac1{\sqrt3}$)따라서 $\displaystyle U$의 높이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2\tan\delta=\frac{\sqrt3}2\sqrt{\sec^2\delta-1}=\frac{\sqrt3}2\sqrt{(\sqrt3)^2-1}=\frac{\sqrt6}2$Correction. 점 $\displaystyle U$의 높이를 구하는 중간 식에서 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2\tan\delta$는 $\displaystyle \frac12\tan\delta$이어야 한다. $\displaystyle \frac{\sqrt3}2$는 기울어진 삼각형의 높이이므로 여기에 $\displaystyle \sin\delta$를 곱해도 같은 값 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2$를 얻는다. 이 중간 높이는 마지막 답을 계산할 때 사용하지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.면 $\displaystyle EFPO$와 면 $\displaystyle ABCDEF$의 이면각은 $\displaystyle \beta+\delta$이다.따라서 $\displaystyle \cos(\beta+\delta)=\cos\beta\cos\delta-\sin\beta\sin\delta=\frac13\frac1{\sqrt3}-\sqrt{1-\frac19}\sqrt{1-\frac13}=-\frac1{\sqrt3}$이제 구하는 면 $\displaystyle ABCDEF$의 모든 점의 높이는$\displaystyle 2\cos(\beta+\delta-90^{\circ})=2\sin(\beta+\delta)=2\sqrt{1-\cos^2(\beta+\delta)}=2\sqrt{1-\frac13}=2\sqrt{\frac23}=\frac{2\sqrt6}3$