자연계열 (오후) 1번

[문제 1-1] $\displaystyle 0\le s\le2$일 때 $\displaystyle s^2=x^2+y^2=2x^2$이므로 $\displaystyle h(s)=\frac s{\sqrt2}$이다. Correction. [문제 1-1]에서 구하는 함수 이름은 $\displaystyle h(s)$가 아니라 $\displaystyle g(s)$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Comment. 첫 구간에서 점 $\displaystyle P$의 원래 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 하면 $\displaystyle s^2=(x-\sqrt2)^2+y^2=2y^2$이다. 원문의 $\displaystyle x,y$를 원래 좌표로 읽으면 이 등식은 성립하지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

다른 구간에서도 비슷하게 생각하면, $\displaystyle g(s)$는 다음과 같다.$\displaystyle g(s)=\begin{cases}\frac s{\sqrt2}&0\le s\le2\\\frac{4-s}{\sqrt2}&2\le s\le6\\\frac{s-8}{\sqrt2}&6\le s\le8\end{cases}$

(1) $\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\frac12\left(\sqrt{x^2-1}+x\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}-\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}\right)\\&=\frac12\left(\frac{x^2-1+x^2}{\sqrt{x^2-1}}-\frac1{\sqrt{x^2-1}}\right)=\sqrt{x^2-1}\end{aligned}$

이므로 $\displaystyle s=s(x)=\int_1^x\sqrt{1+(f^{\prime}(t))^2}\,dt=\int_1^x t\,dt=\frac12(x^2-1)$.따라서 $\displaystyle \sqrt{x^2-1}=\sqrt{2s}$, $\displaystyle x=\sqrt{2s+1}$

$\displaystyle P(x,y)$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle f(x)=\frac12(\sqrt{2s}\sqrt{2s+1}-\ln(\sqrt{2s+1}+\sqrt{2s})=g(s)$Correction. $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle s$로 나타낸 마지막 식에는 닫는 괄호가 하나 빠져 있다. 식은 $\displaystyle \frac12\left(\sqrt{2s}\sqrt{2s+1}-\ln(\sqrt{2s+1}+\sqrt{2s})\right)$을 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) $\displaystyle \frac{g(s)}s=\frac12\left(\sqrt2\sqrt{2+\frac1{2s}}-\frac{\ln(\sqrt{2s+1}+\sqrt{2s})}s\right)$Correction. 첫 근호항의 $\displaystyle 2+\frac1{2s}$는 $\displaystyle 2+\frac1s$이어야 한다. $\displaystyle \sqrt{2s}\sqrt{2s+1}/s=\sqrt2\sqrt{2+1/s}$이다. 두 식의 극한은 같아 최종 답 1에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle k(x)=x-\ln x$라 하면 $\displaystyle k^{\prime}(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}x>0$, ($\displaystyle x>1$)이므로 증가함수이고 $\displaystyle k(1)=1>0$이므로 $\displaystyle k(x)>0$ 즉, $\displaystyle \ln x<x$, ($\displaystyle x>1$). 이제 $\displaystyle x$ 대신 $\displaystyle \sqrt x$를 대입하면 $\displaystyle \frac12\ln x<\sqrt x$ 이제 $\displaystyle \frac{\ln x}x<\frac2{\sqrt x}$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}x=0$$\displaystyle \frac{\ln(\sqrt{2s+1}+\sqrt{2s})}s<\frac{\ln(2\sqrt{2s+1})}s=\frac{\ln2+\frac12\ln(2s+1)}s=\frac{\ln2}s+\frac{2s+1}{2s}\frac{\ln(2s+1)}{2s+1}\to0$

따라서 $\displaystyle \lim_{s\to\infty}\frac{g(s)}s=1$

(1) $\displaystyle h(\theta)$의 최댓값은 $\displaystyle R$의 높이이므로, 꼭짓점의 높이를 계산하면 충분하다. $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi4$ ($\displaystyle 0\le\tan\theta\le1$)일 때 회전변환을 생각하면 점 $\displaystyle (1,1)$은 $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\binom11=\binom{\cos\theta-\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}$에서 $\displaystyle (\cos\theta-\sin\theta,\sin\theta+\cos\theta)$로 이동된다.Correction. 이 문단의 $\displaystyle h(\theta)$는 고정한 $\displaystyle \theta$에 대해 정의된 높이 함수 $\displaystyle h(s)$를 뜻한다. 최댓값 $\displaystyle \sin\theta+\cos\theta$는 문제의 전체 범위 $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi2$에서도 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle h(\theta)$의 최댓값은 $\displaystyle \sin\theta+\cos\theta$ 혹은 $\displaystyle \sqrt2\sin(\theta+\frac\pi4)$, $\displaystyle \sqrt2\cos(\theta-\frac\pi4)$

위의 그래프는 다섯 구간으로 나뉘어져 있고, 직선의 기울기의 절댓값을 보면 $\displaystyle x$축 방향의 길이가 2이면서 $\displaystyle y$축 방향의 길이가 $\displaystyle 2\sin\theta$인 구간이 두 개, $\displaystyle x$축 방향의 길이가 2이면서 기울기가 $\displaystyle 2\cos\theta$인 구간이 한 개, $\displaystyle x$축 방향의 길이가 $\displaystyle \tan\theta+1$이면서 기울기가 $\displaystyle 2\cos\theta$인 구간이 한 개, $\displaystyle x$축 방향의 길이가 $\displaystyle 1-\tan\theta$이면서 기울기가 $\displaystyle 2\cos\theta$인 구간이 한 개이다. 양 끝 두 구간은 합쳐 생각하면 $\displaystyle x$축 방향의 길이가 2이면서 기울기가 $\displaystyle 2\cos\theta$인 구간과 길이가 같다. 결국Correction. 이 문단에서 반복되는 기울기 $\displaystyle 2\cos\theta$는 $\displaystyle \cos\theta$이어야 한다. 가로 길이가 2인 구간의 높이 변화가 $\displaystyle 2\cos\theta$이므로 기울기의 절댓값은 $\displaystyle \cos\theta$이다. 이어지는 길이 공식과 별해는 이를 올바르게 사용한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \ell(\theta)=4\left(\sqrt{\sin^2\theta+1}+\sqrt{\cos^2\theta+1}\right)$ (단, $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi4$).이다. 한편, $\displaystyle \frac\pi4\le\theta\le\frac\pi2$일 때의 $\displaystyle h(s)$의 그래프는 $\displaystyle \frac\pi2-\theta$일 때의 $\displaystyle h(s)$의 그래프를 $\displaystyle s=4$를 기준으로 대칭하여 $\displaystyle y$축으로 반전시킨 함수의 그래프, 즉 $\displaystyle -h(8-s)$의 그래프와 같다. 즉, $\displaystyle \ell(\theta)=\ell(\frac\pi2-\theta)$이고,$\displaystyle \ell(\theta)=\ell(\frac\pi2-\theta)=4\left(\sqrt{\sin^2(\frac\pi2-\theta)+1}+\sqrt{\cos^2(\frac\pi2-\theta)+1}\right)=4\left(\sqrt{1+\cos^2\theta}+\sqrt{1+\sin^2\theta}\right)$이므로, 이를 종합하면 모든 $\displaystyle \theta$에 대해서 $\displaystyle \ell(\theta)=4\left(\sqrt{1+\sin^2\theta}+\sqrt{1+\cos^2\theta}\right)$이다.

한편 이 함수를 미분하면 $\displaystyle \ell^{\prime}(\theta)=\frac{4\sin\theta\cos\theta\left(\sqrt{\cos^2\theta+1}-\sqrt{\sin^2\theta+1}\right)}{\sqrt{\cos^2\theta+1}\sqrt{\sin^2\theta+1}}\ge0$, (단, $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi4$)이므로 $\displaystyle \ell(\theta)$는 구간 $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi4$에서 증가한다.

$\displaystyle \ell(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\frac\pi4$를 중심으로 대칭이므로,

$\displaystyle \ell(\theta)$는 구간 $\displaystyle \frac\pi4\le\theta\le\frac\pi2$에서는 감소한다. 따라서 $\displaystyle \ell(\theta)$의 개형의 중요한 특성은 아래와 같다.(i) $\displaystyle \theta=\frac\pi4$를 중심으로 좌우대칭(ii) $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi4$구간에서 증가 ($\displaystyle \frac\pi4\le\theta\le\frac\pi2$구간에서 감소)