자연계열 (오후) 2번

[문제 2-1] 함수 $\displaystyle f(n)$을 수식으로 표현하면 다음과 같다.$\displaystyle f(n)=\begin{cases}(n+\frac n{10})(100-n+\frac n{10})&n<10\text{일 때},\\(n+\frac n{100})(100-n+\frac n{100})&n\ge10\text{일 때}.\end{cases}$먼저 $\displaystyle n=100$이면, $\displaystyle f(n)=100*0.1=10$이다.Correction. 구간별 식의 두 번째 조건은 $\displaystyle 10\le n\le99$이어야 한다. $\displaystyle n=100$일 때는 소수점 아래 세 자리를 사용하므로 바로 다음 문장처럼 별도로 계산한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그리고 $\displaystyle n<10$이면, (성질 1)을 참고하면, $\displaystyle f(n)<(n+1)(100-n+1)\le10\times100=1000$이다.이제 $\displaystyle 10\le n\le99$일 때의 최댓값을 구해보자. 준식을 정리하면 $\displaystyle f(n)=-\frac{101\cdot99}{10000}n^2+101n$이다. 이 식은 $\displaystyle n_0=\frac{10000}{2\cdot99}=50.505\cdots$에서 최대가 된다. 한편 $\displaystyle f(n)$은 2차 함수로 최댓값을 기준으로 좌우대칭이 되므로, $\displaystyle n_0$에 가장 가까운 정수는 $\displaystyle n=51$이고, 이때 $\displaystyle f(n)$의 값은 1000보다 크다. 따라서 답은 51.

[문제 2-2] 근과 계수와의 관계에 의하여$\displaystyle \log_{10}\alpha+\log_{10}\beta=\overline{n.m}+\overline{m.n}=-\frac b{10}$ (a)$\displaystyle \log_{10}\alpha\cdot\log_{10}\beta=\overline{n.m}\times\overline{m.n}=c$ (b)가 성립한다. 한편 (b)와 성질2에 의해 $\displaystyle nm$은 10의 배수이고, $\displaystyle n,m$은 모두 10의 배수가 아니므로 둘 중 하나는 5의 배수, 하나는 2의 배수여야 한다. 따라서 한 수의 일의 자릿수는 5이고 나머지 한 수의 일의 자리 수는 짝수이다. (a)에서 $\displaystyle \overline{n.m}+\overline{m.n}$이 소수점 한자리까지 허용되는 수이므로 $\displaystyle n,m$이 두 자리수 이상이라면 반드시 자리 올림이 일어나야 하지만, 두 수의 일의 자릿수의 합이 절대 10이 될 수 없으므로 반드시 $\displaystyle n,m$은 한자리 수여야 한다. 이제 가능한 $\displaystyle (n,m)$을 생각하면 $\displaystyle (2,5),(4,5),(6,5),(8,5)$와 그 대칭인 조합들이 가능한데, 이중 $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}$이 10의 배수가 되는 수는 $\displaystyle (2,5)$ 혹은 $\displaystyle (5,2)$뿐이다. 이때 $\displaystyle b=-77,\ c=13$. 따라서Correction. 이 문단의 ‘10의 배수’는 ‘정수’를 뜻한다. 실제로 해당 곱 $\displaystyle 2.5\times5.2=13$은 10의 배수가 아니며, 근과 계수의 관계에서 필요한 조건도 곱이 정수 $\displaystyle c$라는 것이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \log_{10}(c-b)\alpha\beta=\log_{10}(c-b)+\log_{10}\alpha+\log_{10}\beta=\log_{10}90+\overline{n.m}+\overline{m.n}=1.9542+7.7=9.6542$이다. 즉, $\displaystyle (c-b)\alpha\beta=10^9\times\gamma$ (단, $\displaystyle 1<\gamma<10$)이고 $\displaystyle \log_{10}\gamma=0.6542$이다. 한편, 문제에서 $\displaystyle \log_{10}4=0.6021$, $\displaystyle \log_{10}5=0.6990$가 성립하므로 $\displaystyle 4<\gamma<5$이 되므로 문제의 답은 4이다.

(1) 문제의 조건에서 $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}$는 두 자리의 자연수가 되어야 한다. 만일 $\displaystyle m=0$이면, $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}=\frac{n^2}{10^k}$ (단, $\displaystyle k$는 $\displaystyle n$의 자릿수)가 된다. 따라서 $\displaystyle n^2$이 $\displaystyle 10^k$의 배수여야 한다. 따라서 $\displaystyle n$은 10의 배수. 이 경우 $\displaystyle \frac{n^2}{10^k}$이 두 자리의 자연수가 되는 경우는 $\displaystyle n$이 100, 200, 300, 40, 50, 60, 70, 80, 90일 때뿐이다. 따라서 가능한 $\displaystyle (n,m)$은 $\displaystyle (100,0),(200,0),(300,0),(40,0),(50,0),(60,0),(70,0),(80,0),(90,0)$이고 이 경우 모두 대응되는 $\displaystyle b$는 정수가 된다.따라서 답은 $\displaystyle (100,0),(200,0),(300,0),(40,0),(50,0),(60,0),(70,0),(80,0),(90,0)$이다.

(2) 만일 $\displaystyle m=1$이면 $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}$은 정수가 될 수 없다. 따라서 $\displaystyle n\ge m>1$이라고 가정해도 무방하다. 한편, $\displaystyle n,m$이 모두 10이상이면 성질1에 의해 $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}>nm\ge100$이므로 문제 조건을 만족하지 않는다. 따라서 $\displaystyle m$은 반드시 한자리 수이다. 즉, $\displaystyle m\le9$.1) $\displaystyle n\le9$인 경우 : $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}=(n+\frac m{10})(m+\frac n{10})=\frac{101}{100}nm+\frac1{10}(n^2+m^2)$이고, 이 값이 자연수 이므로 $\displaystyle nm$은 반드시 10의 배수여야 한다. 따라서 둘 중 하나는 5여야 하고 가능한 조합은 $\displaystyle (n,m)=(5,4),(5,2),(6,5),(8,5)$뿐이다. 이 중 그 곱이 자연수가 되는 것은 $\displaystyle (n,m)=(5,2)$이다. 이 경우 $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}=13$이므로 $\displaystyle c$는 두 자리 자연수이고, 대응되는 $\displaystyle b$ 역시 정수이다.

2) $\displaystyle n\ge10$인 경우 : $\displaystyle N=\overline{n.m}\times\overline{m.n}=(n+\frac m{10})(m+\frac n{100})$이고 성질 2에 의해 $\displaystyle nm$은 10의 배수이고, $\displaystyle nm\le90$이어야 한다. 만일 $\displaystyle n$이 10의 배수라면, $\displaystyle n^2$은 100의 배수가 된다. 따라서 $\displaystyle 10m^2+\frac{nm}{10}$이 100의 배수가 되어야 하는데 $\displaystyle \frac n{10}=\ell=1,2,\ldots,9$ 중 하나이므로, $\displaystyle 10m^2+\ell m=m(10m+\ell)$이 100의 배수가 되는 한 자리수 $\displaystyle m,\ell$을 찾으면 된다. 이러한 $\displaystyle m,\ell$은 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle n$은 10의 배수가 아니므로 $\displaystyle m$은 짝수 혹은 5가 되어야 한다.$\displaystyle m=5$라면 $\displaystyle nm\le90$에서 $\displaystyle n=12,14,16,18$이다. 이 중 성립하는 것은, $\displaystyle (n,m)=(12,5)$. 실제 $\displaystyle 5.12\times12.5=64$이므로 두 자리의 자연수이다. 이 경우 대응되는 $\displaystyle b$역시 정수이다.$\displaystyle m$이 짝수라면, $\displaystyle m=2,4,6,8$이고 $\displaystyle n$의 일의 자릿수는 5여야 한다.$\displaystyle m=2$ : $\displaystyle n$은 15, 25, 35, 45만 가능하다. 성립하는 것은 없다.$\displaystyle m=4,6$ : $\displaystyle n$은 15만 가능하다. 성립하는 것은 없다.$\displaystyle m=8$ : $\displaystyle nm\ge8\times15>100$이므로 성립하지 않는다.따라서 답은 $\displaystyle (n,m)=(5,2),(12,5)$이다.(참고) (2)에서 $\displaystyle c$가 세 자리 자연수가 되는 경우는 $\displaystyle (6,25)$가 있다.Correction. 참고의 $\displaystyle (6,25)$는 문제의 조건 $\displaystyle n\ge m$과 순서가 반대이다. 순서를 바꾼 $\displaystyle (25,6)$에서 곱 $\displaystyle 25.6\times6.25=160$이 세 자리 자연수가 된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.