자연계열 (오후) 2번

한편 $\displaystyle f(n)$은 2차 함수로 최댓값을 기준으로 좌우대칭이 되므로, $\displaystyle n_0$에 가장 가까운 정수는 $\displaystyle n=51$이고, 이때 $\displaystyle f(n)$의 값은 1000보다 크다. 따라서 답은 51.

[문제 2-2] 근과 계수와의 관계에 의하여$\displaystyle \log_{10}\alpha+\log_{10}\beta=\overline{n.m}+\overline{m.n}=-\frac b{10}$ (a)$\displaystyle \log_{10}\alpha\cdot\log_{10}\beta=\overline{n.m}\times\overline{m.n}=c$ (b)가 성립한다.

한편 (b)와 성질2에 의해 $\displaystyle nm$은 10의 배수이고, $\displaystyle n,m$은 모두 10의 배수가 아니므로 둘 중 하나는 5의 배수, 하나는 2의 배수여야 한다. 따라서 한 수의 일의 자릿수는 5이고 나머지 한 수의 일의 자리 수는 짝수이다. (a)에서 $\displaystyle \overline{n.m}+\overline{m.n}$이 소수점 한자리까지 허용되는 수이므로 $\displaystyle n,m$이 두 자리수 이상이라면 반드시 자리 올림이 일어나야 하지만, 두 수의 일의 자릿수의 합이 절대 10이 될 수 없으므로 반드시 $\displaystyle n,m$은 한자리 수여야 한다.

이제 가능한 $\displaystyle (n,m)$을 생각하면 $\displaystyle (2,5),(4,5),(6,5),(8,5)$와 그 대칭인 조합들이 가능한데, 이중 $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}$이 10의 배수가 되는 수는 $\displaystyle (2,5)$ 혹은 $\displaystyle (5,2)$뿐이다. Correction. 이 문단의 ‘10의 배수’는 ‘정수’를 뜻한다. 실제로 해당 곱 $\displaystyle 2.5\times5.2=13$은 10의 배수가 아니며, 근과 계수의 관계에서 필요한 조건도 곱이 정수 $\displaystyle c$라는 것이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이때 $\displaystyle b=-77,\ c=13$.

따라서$\displaystyle \log_{10}(c-b)\alpha\beta=\log_{10}(c-b)+\log_{10}\alpha+\log_{10}\beta=\log_{10}90+\overline{n.m}+\overline{m.n}=1.9542+7.7=9.6542$이다. 즉, $\displaystyle (c-b)\alpha\beta=10^9\times\gamma$ (단, $\displaystyle 1<\gamma<10$)이고 $\displaystyle \log_{10}\gamma=0.6542$이다.

한편, 문제에서 $\displaystyle \log_{10}4=0.6021$, $\displaystyle \log_{10}5=0.6990$가 성립하므로 $\displaystyle 4<\gamma<5$이 되므로 문제의 답은 4이다.

(1) 문제의 조건에서 $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}$는 두 자리의 자연수가 되어야 한다. 만일 $\displaystyle m=0$이면, $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}=\frac{n^2}{10^k}$ (단, $\displaystyle k$는 $\displaystyle n$의 자릿수)가 된다. 따라서 $\displaystyle n^2$이 $\displaystyle 10^k$의 배수여야 한다. 따라서 $\displaystyle n$은 10의 배수. 이 경우 $\displaystyle \frac{n^2}{10^k}$이 두 자리의 자연수가 되는 경우는 $\displaystyle n$이 100, 200, 300, 40, 50, 60, 70, 80, 90일 때뿐이다.

따라서 가능한 $\displaystyle (n,m)$은 $\displaystyle (100,0),(200,0),(300,0),(40,0),(50,0),(60,0),(70,0),(80,0),(90,0)$이고 이 경우 모두 대응되는 $\displaystyle b$는 정수가 된다.따라서 답은 $\displaystyle (100,0),(200,0),(300,0),(40,0),(50,0),(60,0),(70,0),(80,0),(90,0)$이다.

(2) 만일 $\displaystyle m=1$이면 $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}$은 정수가 될 수 없다. 따라서 $\displaystyle n\ge m>1$이라고 가정해도 무방하다. 한편, $\displaystyle n,m$이 모두 10이상이면 성질1에 의해 $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}>nm\ge100$이므로 문제 조건을 만족하지 않는다. 따라서 $\displaystyle m$은 반드시 한자리 수이다. 즉, $\displaystyle m\le9$.

1) $\displaystyle n\le9$인 경우 : $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}=(n+\frac m{10})(m+\frac n{10})=\frac{101}{100}nm+\frac1{10}(n^2+m^2)$이고, 이 값이 자연수 이므로 $\displaystyle nm$은 반드시 10의 배수여야 한다. 따라서 둘 중 하나는 5여야 하고 가능한 조합은 $\displaystyle (n,m)=(5,4),(5,2),(6,5),(8,5)$뿐이다. 이 중 그 곱이 자연수가 되는 것은 $\displaystyle (n,m)=(5,2)$이다. 이 경우 $\displaystyle \overline{n.m}\times\overline{m.n}=13$이므로 $\displaystyle c$는 두 자리 자연수이고, 대응되는 $\displaystyle b$ 역시 정수이다.