간호-자연 2번

명제 $\displaystyle \frac{1}{n!}<\frac{e^{n}}{n^{n}}$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해서 성립함을 수학적 귀납법으로 보이도록 하자.우선, $\displaystyle n=1$일 때 $\displaystyle \frac{1}{n!}=1$이고 $\displaystyle \frac{e^{n}}{n^{n}}=e=2.718\cdots$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{n!}<\frac{e^{n}}{n^{n}}$이 성립한다.

$\displaystyle n=k$일 때 주어진 부등식이 성립한다고 가정하자. 즉, $\displaystyle \frac{1}{k!}<\frac{e^{k}}{k^{k}}$라고 가정하자.이 부등식의 양변에 $\displaystyle \frac{1}{k+1}$을 곱하면 $\displaystyle \frac{1}{(k+1)!}<\frac{e^{k}}{k^{k}(k+1)}$이 된다.

그런데 위 부등식의 우변은$\displaystyle \frac{e^{k}}{k^{k}(k+1)}=\frac{e^{k+1}}{(k+1)^{k+1}}\times\frac{(k+1)^{k}}{ek^{k}}=\frac{e^{k+1}}{(k+1)^{k+1}}\times\frac{1}{e}\times\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}$인데 제시문 (나)에 의해 모든 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}<e$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{e}\times\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}<1$이 된다. 따라서 $\displaystyle \frac{e^{k}}{k^{k}(k+1)}=\frac{e^{k+1}}{(k+1)^{k+1}}\times\frac{1}{e}\times\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}<\frac{e^{k+1}}{(k+1)^{k+1}}$이 된다. 즉, $\displaystyle n=k+1$일 때도 $\displaystyle \frac{1}{n!}<\frac{e^{n}}{n^{n}}$이 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle \frac{1}{n!}<\frac{e^{n}}{n^{n}}$이 성립한다.