자연계열 2번

(가) [수학적 귀납법] $\displaystyle n_{0}$를 자연수라고 하자. 자연수 $\displaystyle n$에 대한 명제 $\displaystyle p(n)$이 $\displaystyle n\geq n_{0}$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.① $\displaystyle n=n_{0}$일 때 명제 $\displaystyle p(n)$이 성립한다.② $\displaystyle k\geq n_{0}$인 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle n=k$일 때 명제 $\displaystyle p(n)$이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle n=k+1$일 때도 명제 $\displaystyle p(n)$이 성립한다.이와 같은 방법으로 자연수에 대한 어떤 명제가 참임을 증명하는 것을 수학적 귀납법이라고 한다.

(나) [수학적 귀납법의 적용 예] $\displaystyle n\geq2$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부등식 $\displaystyle n!>\frac{4^{n}}{3^{n}}$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정은 다음과 같다.첫째, $\displaystyle n=2$일 때 $\displaystyle n!=2$이고 $\displaystyle \frac{4^{n}}{3^{n}}=\frac{16}{9}$이므로 $\displaystyle n!>\frac{4^{n}}{3^{n}}$이 성립한다.둘째, $\displaystyle k\geq2$인 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle k!>\frac{4^{k}}{3^{k}}$이 성립한다고 가정하자. 이 부등식의 양변에 $\displaystyle k+1$을 곱하면 $\displaystyle (k+1)!>(k+1)\frac{4^{k}}{3^{k}}$이 성립한다. 그런데 $\displaystyle k\geq2$이므로 $\displaystyle (k+1)\geq3>\frac{4}{3}$이다. 따라서 $\displaystyle (k+1)!>(k+1)\frac{4^{k}}{3^{k}}>\frac{4^{k+1}}{3^{k+1}}$ 이 성립한다. 그러므로 수학적 귀납법에 의해 $\displaystyle n\geq2$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부등식 $\displaystyle n!>\frac{4^{n}}{3^{n}}$이 성립한다.

(다) $\displaystyle n\geq2$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}<\frac{17}{4}$이 성립함을 확인하는 과정을 생각해 보자. 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle k\geq2$인 모든 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{k!}<\frac{3^{k}}{4^{k}}$ 이므로 $\displaystyle n\geq2$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!}=\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{k!}<\frac{3^{2}}{4^{2}}+\cdots+\frac{3^{n}}{4^{n}}$Correction. 합 기호의 위 첨자가 $\displaystyle n$이므로 전개한 합의 마지막 항 $\displaystyle \frac{1}{k!}$은 $\displaystyle \frac{1}{n!}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 그런데 위 부등식의 우변은 등비수열의 합이므로$\displaystyle \frac{3^{2}}{4^{2}}+\cdots+\frac{3^{n}}{4^{n}}=\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\left\{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\right\}}{1-\frac{3}{4}}<\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}{\frac{1}{4}}=\frac{9}{4}$이다. 따라서 $\displaystyle n\geq2$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}<2+\frac{9}{4}=\frac{17}{4}$이 성립한다.

(라) [함수 $\displaystyle f_{n}(x)$의 귀납적 정의] 다항함수 $\displaystyle f_{1}(x)$, $\displaystyle f_{2}(x)$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle f_{n}(x)$, $\displaystyle \cdots$를 다음과 같이 귀납적으로 정의하자.$\displaystyle f_{1}(x)=1+x$$\displaystyle f_{n+1}(x)=1+\int_{0}^{x}f_{n}(t)dt\quad(n=1,2,3,\cdots)$