자연계열 2번

첫째, $\displaystyle n=1$이면 $\displaystyle f_{1}(x)=1+x$이고 $\displaystyle 1+\sum_{m=1}^{n}\frac{x^{m}}{m!}=1+x$이므로 $\displaystyle f_{n}(x)=1+\sum_{m=1}^{n}\frac{x^{m}}{m!}$이 성립한다.

둘째, $\displaystyle k\geq1$인 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle f_{k}(x)=1+\sum_{m=1}^{k}\frac{x^{m}}{m!}$이 성립한다고 하자.

그러면 제시문 (라)에 의해 $\displaystyle f_{k+1}(x)=1+\int_{0}^{x}f_{k}(t)dt$이므로$\displaystyle \begin{aligned}f_{k+1}(x)&=1+\int_{0}^{x}1+\sum_{m=1}^{k}\frac{t^{m}}{m!}dt\\&=1+x+\sum_{m=1}^{k}\int_{0}^{x}\frac{t^{m}}{m!}dt\\&=1+x+\sum_{m=1}^{k}\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}\\&=1+\sum_{m=1}^{k+1}\frac{x^{m}}{m!}\end{aligned}$이 성립한다. 즉, $\displaystyle n=k+1$일 때 식이 성립한다.따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle f_{n}(x)=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{k!}$이 성립한다.

모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle f_{n}(x)=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{k!}$이므로 $\displaystyle f_{n}\left(\frac{1}{3}\right)=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3^{k}k!}$이다.

제시문 (나)에 의해 $\displaystyle k\geq2$인 모든 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{k!}<\frac{3^{k}}{4^{k}}$ 이므로 $\displaystyle n\geq2$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{3^{k}k!}<\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{4^{k}}=\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\}}{1-\frac{1}{4}}<\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{12}$이다.

따라서 $\displaystyle n\geq2$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f_{n}\left(\frac{1}{3}\right)=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3^{k}k!}<1+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}=\frac{17}{12}$이 성립한다.