자연계열 1번

$\displaystyle \begin{aligned}G(x)&=px^{2}+qx+r\\&=p\left(x+\frac{q}{2p}\right)^{2}+r-\frac{q^{2}}{4p}\\&=pF\left(x+\frac{q}{2p}\right)+r-\frac{q^{2}}{4p}\end{aligned}$이므로 제시문 (가)의 정의에 따라 $\displaystyle F(x)$와 $\displaystyle G(x)$는 서로 닮은꼴이다.

조건을 만족하는 함수를 $\displaystyle K(x)$라고 하자. 함수 $\displaystyle K(x)$는 $\displaystyle H(x)$와 합동이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle K(x)=aH(x+b)+c$ 이 성립하는 실수 $\displaystyle a,b,c$가 존재한다. (단, $\displaystyle |a|=1$)우선, 조건 ②에 의해 $\displaystyle a=-1$이어야 한다.그러면, $\displaystyle K(x)=-(x+b)^{3}-3(x+b)^{2}+c-5$이다.조건 ③에 의해 세 근의 합이 0이 되어야 하므로 근과 계수와의 관계에 의해 2차항의 계수 $\displaystyle -3b-3$는 0이다. 따라서 $\displaystyle b=-1$이다.그러므로 $\displaystyle K(x)=-x^{3}+3x+d$의 형태가 되어야 한다. (단, $\displaystyle d$는 실수)그런데 조건 ③에 의해 방정식 $\displaystyle K(x)=0$는 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 극대값과 극소값의 곱이 음수가 되어야 한다. $\displaystyle K^{\prime}(x)=-3x^{2}+3=3(1-x^{2})$ 이므로 극대값과 극소값의 곱은 $\displaystyle K(1)K(-1)=(d+2)(d-2)$가 된다. 따라서 $\displaystyle |d|<2$을 만족해야 한다.따라서 $\displaystyle K(x)$가 조건을 모두 만족하면 $\displaystyle K(x)=-x^{3}+3x+d$의 형태이어야 한다.(단, $\displaystyle |d|<2$)

이제 이러한 함수 $\displaystyle K(x)=-x^{3}+3x+d$ (단, $\displaystyle |d|<2$)가 주어진 세 조건을 만족하는 지를 살펴보자. $\displaystyle K(x)=-H(x-1)+7+d$이므로 $\displaystyle K(x)$와 $\displaystyle H(x)$는 제시문 (가)에 따라 합동이다. 또한 $\displaystyle K(x)$의 최고차항의 계수가 -1이므로 $\displaystyle K(x)$는 음으로 발산하는 함수이다. 마지막으로 $\displaystyle K(x)$은 극대값 $\displaystyle K(1)$을 갖고 극소값 $\displaystyle K(-1)$을 가지고 극값의 곱 $\displaystyle K(-1)K(1)$은 $\displaystyle K(-1)K(1)=(d-2)(d+2)<0$ 이므로 방정식 $\displaystyle K(x)=0$은 서로 다른 세 실근을 가진다. 그런데 $\displaystyle K(x)$의 2차항의 계수가 0이므로 세 실근의 합은 0이다. 따라서 $\displaystyle K(x)$는 주어진 세 조건을 만족한다.