자연계열 II 5번

(다) 귀납법은 경험이나 실험에 의한 것을 토대로 일반 현상을 예측하는 추론 방법을 뜻하는 것이 보통이다. 특수 현상에서 보편 현상을 이끌어 내는 과정이니 참으로 흥미롭다.

수학적 귀납법은 여러 가지 명제를 동시에 증명할 때 사용하는 방법이다. 수학적 귀납법을 사용하기 위해서는 여러 가지 명제가 서로 이어져 있어서 한 명제 다음에 또 한 명제가 있고, 그 명제 다음에 또 한 명제가 계속 이어져 있어야 한다. 수학적 귀납법은 유한개의 명제가 이어져 있고, 마지막 명제가 있는 경우에도 적용할 수 있다. 이때 다음 두 가지

(i) 한 명제가 참이라고 가정하면, 그 다음 명제도 참이다.

(ii) 맨 처음 명제는 참이다.

를 보여서 모든 명제가 참이라는 것을 증명하는 방법이 바로 수학적 귀납법이다.

함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle a\le x_1<x_2\le b$인 임의의 실수 $\displaystyle x_1,x_2$에 대하여 $\displaystyle f(x_1)<f(x_2)$일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle [a,b]$에서 증가한다고 한다. 또한 함수 $\displaystyle g$가 $\displaystyle a\le x_1<x_2\le b$인 임의의 실수 $\displaystyle x_1,x_2$와 $\displaystyle 0\le t\le1$인 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle g(tx_1+(1-t)x_2)\le tg(x_1)+(1-t)g(x_2)$일 때, 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle [a,b]$에서 볼록하다고 한다. 다음 그래프는 각각 $\displaystyle [0,8]$에서, 증가하는 함수와 볼록한 함수의 예를 보여준다.

어떤 두 개의 연속함수 $\displaystyle h(x)$와 $\displaystyle k(x)$가 있다. 함수 $\displaystyle h(x)$는 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle [n-1,n]$의 구간에서 증가한다. 그리고 함수 $\displaystyle k(x)$는 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle [n-1,n]$의 구간에서 볼록하다.

학생 A는 ‘함수 $\displaystyle h(x)$가 양의 실수 전체에서 증가한다’는 명제를 다음과 같이 증명할 수 있다고 주장한다. "$\displaystyle h(x)$는 연속함수이므로, 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle [n-1,n]$에서 $\displaystyle h(x)$가 증가하면, $\displaystyle h(x)$는 양의 실수 전체에서 증가할 수 밖에 없다. 그런데 함수 $\displaystyle h(x)$는 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle [n-1,n]$에서 증가하므로, $\displaystyle h(x)$는 양의 실수 전체에서도 증가한다.".

학생 B는 ‘함수 $\displaystyle k(x)$가 양의 실수 전체에서 볼록하다’는 명제를 다음과 같이 증명할 수 있다고 주장한다. "$\displaystyle k(x)$는 연속함수이므로, 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle [n-1,n]$에서 $\displaystyle k(x)$가 볼록하면, $\displaystyle k(x)$는 양의 실수 전체에서 볼록할 수 밖에 없다. 그런데 함수 $\displaystyle k(x)$는 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle [n-1,n]$에서 볼록하므로 $\displaystyle k(x)$는 양의 실수 전체에서도 볼록하다.".