자연계열 2번

색맹 유전자를 가지고 있으나 색맹이 아닌 여성(보인자)은 $\displaystyle XX^{\prime}$로 표현될 수 있으므로 전체인구 중에서 이들이 발견될 확률은 $\displaystyle 2\times4/5\times1/5=8/25$이다. 여기서 X와 $\displaystyle X^{\prime}$의 순서는 관계가 없으므로 2를 곱한 것이다.Comment. 답안의 $\displaystyle \frac8{25}$는 여성만을 대상으로 구한 보인자의 비율이다. 문제에서는 전체 인구 중 보인자인 여성의 비율을 물었으므로, 여기에 전체 인구 중 여성의 비율을 곱해야 한다. 남녀 수가 같다고 가정하면 $\displaystyle \frac12\times\frac8{25}=\frac4{25}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

사건 A는 색맹이 아닌 여자와 색맹이 아닌 남자가 만나 자녀를 낳는 사건, 사건 B는 자녀가 선천적으로 색맹인 사건이라 하자. 사건 A는 XX와 XY가 만나는 사건과 $\displaystyle XX^{\prime}$와 XY가 만나는 사건의 합이다. 원주민 집단에서 XX의 확률은 $\displaystyle 4/5\times4/5=16/25$, XY의 확률은 4/5, $\displaystyle XX^{\prime}$의 확률은 8/25이므로, $\displaystyle P(A)=(16/25\times4/5)+(8/25\times4/5)=64/125+32/125=96/125$이다.

$\displaystyle P(A\cap B)$는 A 사건이 일어났을 때 색맹인 자녀가 태어날 확률이다. 이를 두 가지 경우로 나누어 생각해 보면, XX와 XY가 만났을 때는 색맹인 자손이 태어날 확률은 0이고, $\displaystyle XX^{\prime}$와 XY가 만났을 때 색맹인 자손이 태어날 확률은 자손의 4가지 조합($\displaystyle XX,XY,X^{\prime}X,X^{\prime}Y$) 중의 한 가지 경우($\displaystyle X^{\prime}Y$), 즉 1/4임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle P(A\cap B)$는 다음과 같다.Comment. 답안에서 $\displaystyle P(A\cap B)$를 설명한 “A 사건이 일어났을 때 색맹인 자녀가 태어날 확률”은 $\displaystyle P(B\mid A)$를 뜻한다. $\displaystyle P(A\cap B)$는 두 사건이 함께 일어날 확률이다. 뒤에서는 둘을 구분해 계산했으므로, 최종 조건부확률 $\displaystyle \frac1{12}$은 대학 답안의 모형에서 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

결론적으로 이 원주민 집단에서 색맹이 아닌 여자와 색맹이 아닌 남자가 자녀를 낳았을 때 태어난 자녀가 선천적으로 색맹일 확률은 제시문 (라)의 조건부 확률을 활용하여 구하면 $\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=(8/125)/(96/125)=8/96$으로 추론할 수 있다.