중앙대 2010학년도 수시 2차 자연계열 4번 해설

(가) DNA는 A(아데닌), C(시토신), G(구아닌), T(티민)의 네 종류 염기들로 쌍을 이루어 이중 나선형 구조를 가지고 있다. DNA에 포함된 염기의 배열에 의해 유전정보가 암호화되어 있으며, 이는 DNA 복제 과정을 통해 자손에게 전달된다. 모든 생명체는 DNA 복제 과정 중의 오류를 교정하기 위한 DNA 교정 기능을 가지고 있다. DNA 복제 과정 중, DNA의 이중 나선형 구조에 잘못된 염기가 들어가게 되면 즉시 잘못된 염기를 제거하고 적합한 염기를 끼워 넣는다. DNA의 복제를 담당하는 DNA 중합 효소는 시험관 내에서 $\displaystyle 10^{-5}$ 의 확률로 염기쌍 결합의 오류를 일으키는데, 생명체 내에서는 여러 효소들에 의해 이루어지는 DNA 교정 기능으로 인하여 실제 오류 확률은 $\displaystyle 10^{-10}$ 으로 줄어들게 된다. 예를 들어, 박테리아는 자신의 DNA를 복제하여 2개의 박테리아로 분열하는데, DNA 복제 과정에서 오류가 생기면 DNA 염기 서열에 변화가 나타나 돌연변이가 발생하게 된다. 일반적인 돌연변이의 확률은 대단히 낮으나 DNA 교정 기능에 손상이 발생한 경우 돌연변이가 급격히 증가한다.

(나) 정보를 전달하는 과정에는 오류가 발생할 가능성이 존재한다. 발생한 오류를 감지하고 이를 수정하기 위해 사용되는 방법으로 에러 수정 코드가 있다. 에러 수정 코드란 정보를 보낼 때 본래의 정보 외에 부수적인 사항을 추가하여 전달하는 것을 말하며, 발생한 오류의 개수가 많지 않을 경우 이를 통해 본래의 정보를 복구할 수 있다.

0, 1, 2, 3을 이용하여 정보를 표현하는 4진수 시스템에서, 정보를 4개씩 묶어 전달하는 경우를 생각해 보자. 본래의 정보가 $\displaystyle (a\ b\ c\ d)$ 라고 하면 이 정보에 에러 수정 코드 $\displaystyle e,f,g$ 를 추가하여 $\displaystyle (a\ b\ c\ d\ e\ f\ g)$ 를 전송한다. 여기서 $\displaystyle a,b,c,d$ 는 0, 1, 2, 3 중 하나의 값이고, e는 $\displaystyle a+b+c$ 를 4로 나눈 나머지, f는 $\displaystyle a+c+d$ 를 4로 나눈 나머지, g는 $\displaystyle b+c+d$ 를 4로 나눈 나머지이다. 예를 들어, 본래의 정보 $\displaystyle (2\ 3\ 2\ 1)$ 에 에러 수정 코드를 추가하여 $\displaystyle (2\ 3\ 2\ 1\ 3\ 1\ 2)$ 를 전송하였는데 $\displaystyle (2\ 3\ 2\ 0\ 3\ 1\ 2)$ 로 수신되었다면, 에러 수정 코드의 정의에 의해 오류가 발생했음을 쉽게 알아낼 수 있다.

(마) 두 개의 정수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여 두 수를 각각 자연수 n으로 나누었을 때 나머지가 같으면, a와 b는 ‘modulo n으로 합동’이라고 정의한다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.

$\displaystyle a\equiv b\pmod n$

예를 들어, 7과 3은 각각 4로 나누면 나머지가 3으로 같으므로 $\displaystyle 7\equiv3\pmod4$ 의 식이 성립한다. 일반적으로 modulo 합동식은 다음과 같은 성질을 만족한다.

$\displaystyle a\equiv b\pmod n$ 이면 $\displaystyle a-b\equiv0\pmod n$

[문제 4] 제시문 (가)에서 설명된 염기 서열 정보를 4개씩 묶어, 제시문 (나)에서 설명된 4진수 시스템과 에러 수정 코드를 통해 전송하려 한다. 염기를 4진법으로 나타내기 위해 A, C, G, T를 각각 0, 1, 2, 3으로 표현한다. 전송 과정을 거쳐 수신된 결과가 $\displaystyle (1\ 2\ 3\ 2\ 3\ 0\ 1)$ 이고, 수신된 7개의 숫자 중 2개에 오류가 발생했다고 가정하자. 이 경우 제시문 (마)를 참조하여 본래의 염기 서열을 추론하는 과정을 논리적으로 설명하고, 가능한 본래의 염기 서열을 모두 제시하시오. [20점, 답안지 15줄 이내]

중앙대 2010학년도 수시 2차 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/cau/2010su/jayeon_4

+4점 · 세 가지 경우로 분류

+4점 · 앞의 4자리에서 두 오류

<경우 1> 앞의 4자리 정보에서 두 개의 오류가 모두 발생한 경우

예를 들어 $\displaystyle (a\ b\ 3\ 2)$ 의 형태로 가정한다면, $\displaystyle a+b+3\equiv3\pmod4$ , $\displaystyle a+1\equiv0\pmod4$ , $\displaystyle b+1\equiv1\pmod4$ 이어야 하는데 이는 불가능하므로, 결국 $\displaystyle (1\ 2\ a\ b)$ 만 가능하고, $\displaystyle a\equiv0\pmod4$ , $\displaystyle a+b\equiv3\pmod4$ 이어야 한다. 따라서 $\displaystyle (1\ 2\ 0\ 3)$ , 즉 CGAT.

+4점 · 뒤의 3자리에서 두 오류

<경우 2> 뒤의 3자리 코드에서만 두 개의 오류가 발생했을 경우

제시문 [나]에 나오는 규칙을 이용하면 $\displaystyle (1\ 2\ 3\ 2\ 2\ 2\ 3)$ 이어야 한다. 이는 3개의 오류가 발생한 것이므로 주어진 가정에 어긋나므로 불가능

+8점 · 앞뒤에서 하나씩 오류

<경우 3> 앞의 4자리에서 한 개, 뒤의 3자리에서 한 개씩 오류가 발생했을 경우

(1) 뒤의 3자리 중 첫 번째 자리 “3”이 틀렸을 경우:

$\displaystyle a+c+d\equiv0\pmod4$ , $\displaystyle b+c+d\equiv1\pmod4$ 에서 $\displaystyle b\equiv a+1\pmod4$ 이다. 따라서 앞의 2자리는 맞다. 즉 $\displaystyle (a\ b)=(1\ 2)$ .

그러므로 $\displaystyle c+d\equiv3\pmod4$ , $\displaystyle 3+c\not\equiv3\pmod4$ 가 되어 $\displaystyle (a\ b\ c\ d\ e\ f\ g)=(1\ 2\ 1\ 2\ 0\ 0\ 1)$ , $\displaystyle (1\ 2\ 2\ 1\ 1\ 0\ 1)$ , $\displaystyle (1\ 2\ 3\ 0\ 2\ 0\ 1)$ 일 수 있다. 이를 주어진 결과 $\displaystyle (1\ 2\ 3\ 2\ 3\ 0\ 1)$ 과 비교하면 두 개의 오류가 생긴 경우는 $\displaystyle (1\ 2\ 1\ 2\ 0\ 0\ 1)$ 과 $\displaystyle (1\ 2\ 3\ 0\ 2\ 0\ 1)$ 이 가능하다. 즉 CGCG, CGTA이다.

(2) 뒤의 3자리 중 두 번째 자리 “0”이 틀렸을 경우:

$\displaystyle a+b+c\equiv3\pmod4$ , $\displaystyle b+c+d\equiv1\pmod4$ 에서 $\displaystyle a\equiv d+2\pmod4$ 이다. 그런데 $\displaystyle (a\ d)=(1\ 2)$ 이므로 첫째 자리 또는 넷째 자리가 틀린 것이고 $\displaystyle (b\ c)=(2\ 3)$ 이다. 따라서 $\displaystyle a=2,d=0$ 이어야 한다. 따라서 원본은 $\displaystyle (2\ 2\ 3\ 0\ 3\ 1\ 1)$ 인데, 이는 주어진 결과에 의하면 3개의 오류가 발생한 경우이므로 불가능

(3) 뒤의 3자리 중 세 번째 자리 “1”이 틀렸을 경우:

$\displaystyle a+b+c\equiv3\pmod4$ , $\displaystyle a+c+d\equiv0\pmod4$ 에서 $\displaystyle b\equiv d+3\pmod4$ 이다. 그런데 $\displaystyle (b\ d)=(2\ 2)$ 이므로 둘째 자리 또는 넷째 자리가 틀린 것이고 $\displaystyle (a\ c)=(1\ 3)$ 이다. 따라서 $\displaystyle b=3,d=0$ 이어야 한다. 따라서 원본은 $\displaystyle (1\ 3\ 3\ 0\ 3\ 0\ 2)$ 인데, 이는 주어진 결과에 의하면 3개의 오류가 발생한 경우이므로 불가능

결론적으로 가능한 원래의 염기서열은 CGAT, CGCG, CGTA이다.

모든 가능한 21가지 조합을 전부 계산해도 분류 점수 4점. CGCG와 CGTA는 각각 4점. 염기서열 대신 숫자로 답하면 각 1점 감점. 잘못된 염기서열을 추가하면 각 1점 감점.

다른 풀이로 논리적인 설명과 함께 세 경우를 모두 제시하면 20점. 기본 2점에 경우별 6점. 과정 설명 없이 정답만 맞으면 경우별 4점.

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자연계열 4번

합동식과 배수의 판정

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