자연계열 4번

예를 들어 $\displaystyle (a\ b\ 3\ 2)$의 형태로 가정한다면, $\displaystyle a+b+3\equiv3\pmod4$, $\displaystyle a+1\equiv0\pmod4$, $\displaystyle b+1\equiv1\pmod4$이어야 하는데 이는 불가능하므로, 결국 $\displaystyle (1\ 2\ a\ b)$만 가능하고, $\displaystyle a\equiv0\pmod4$, $\displaystyle a+b\equiv3\pmod4$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle (1\ 2\ 0\ 3)$, 즉 CGAT.

제시문 [나]에 나오는 규칙을 이용하면 $\displaystyle (1\ 2\ 3\ 2\ 2\ 2\ 3)$이어야 한다. 이는 3개의 오류가 발생한 것이므로 주어진 가정에 어긋나므로 불가능

(1) 뒤의 3자리 중 첫 번째 자리 “3”이 틀렸을 경우:

$\displaystyle a+c+d\equiv0\pmod4$, $\displaystyle b+c+d\equiv1\pmod4$에서 $\displaystyle b\equiv a+1\pmod4$이다. 따라서 앞의 2자리는 맞다. 즉 $\displaystyle (a\ b)=(1\ 2)$.

그러므로 $\displaystyle c+d\equiv3\pmod4$, $\displaystyle 3+c\not\equiv3\pmod4$가 되어 $\displaystyle (a\ b\ c\ d\ e\ f\ g)=(1\ 2\ 1\ 2\ 0\ 0\ 1)$, $\displaystyle (1\ 2\ 2\ 1\ 1\ 0\ 1)$, $\displaystyle (1\ 2\ 3\ 0\ 2\ 0\ 1)$일 수 있다. 이를 주어진 결과 $\displaystyle (1\ 2\ 3\ 2\ 3\ 0\ 1)$과 비교하면 두 개의 오류가 생긴 경우는 $\displaystyle (1\ 2\ 1\ 2\ 0\ 0\ 1)$과 $\displaystyle (1\ 2\ 3\ 0\ 2\ 0\ 1)$이 가능하다. 즉 CGCG, CGTA이다.

(2) 뒤의 3자리 중 두 번째 자리 “0”이 틀렸을 경우:

$\displaystyle a+b+c\equiv3\pmod4$, $\displaystyle b+c+d\equiv1\pmod4$에서 $\displaystyle a\equiv d+2\pmod4$이다. 그런데 $\displaystyle (a\ d)=(1\ 2)$이므로 첫째 자리 또는 넷째 자리가 틀린 것이고 $\displaystyle (b\ c)=(2\ 3)$이다. 따라서 $\displaystyle a=2,d=0$이어야 한다. 따라서 원본은 $\displaystyle (2\ 2\ 3\ 0\ 3\ 1\ 1)$인데, 이는 주어진 결과에 의하면 3개의 오류가 발생한 경우이므로 불가능

(3) 뒤의 3자리 중 세 번째 자리 “1”이 틀렸을 경우:

$\displaystyle a+b+c\equiv3\pmod4$, $\displaystyle a+c+d\equiv0\pmod4$에서 $\displaystyle b\equiv d+3\pmod4$이다. 그런데 $\displaystyle (b\ d)=(2\ 2)$이므로 둘째 자리 또는 넷째 자리가 틀린 것이고 $\displaystyle (a\ c)=(1\ 3)$이다. 따라서 $\displaystyle b=3,d=0$이어야 한다. 따라서 원본은 $\displaystyle (1\ 3\ 3\ 0\ 3\ 0\ 2)$인데, 이는 주어진 결과에 의하면 3개의 오류가 발생한 경우이므로 불가능

결론적으로 가능한 원래의 염기서열은 CGAT, CGCG, CGTA이다.