경영경제계열 3번

● 주어진 조건을 정리하면 다음과 같다.(조건 2) : $\displaystyle n_B=2n_A,\;n_C=2n_B=4n_A,\;N=n_A+n_B+n_C=7n_A$(조건 3) : $\displaystyle P_A=0.5,\;P_B=0.3,\;P_C=0.2$(조건 4) : $\displaystyle P_{AB}=0.17,\;P_{AC}=0.12,\;P_{BC}=0.13$

● 그룹 A에 속한 어떤 사람에 대한 경우를 고려해 보자. 이 사람의 친구 수인 $\displaystyle D_A$의 기댓값 $\displaystyle E(D_A)$는 그룹 A에 속하는 친구 수의 기댓값, 그룹 B에 속하는 친구 수의 기댓값, 그리고 그룹 C에 속하는 친구 수의 기댓값의 합이 된다. 그룹 A에 속하는 친구 수의 기댓값은 본인을 제외한 A에 속하는 사람 수 $\displaystyle n_A-1$명에 서로 친구가 될 확률 $\displaystyle P_A$를 곱한 값, 그룹 B에 속하는 친구 수의 기댓값은 B에 속하는 사람 수 $\displaystyle n_B$명에 서로 친구가 될 확률 $\displaystyle P_{AB}$를 곱한 값, 그리고 그룹 C에 속하는 친구 수의 기댓값은 C에 속하는 사람 수 $\displaystyle n_C$명에 서로 친구가 될 확률 $\displaystyle P_{AC}$를 곱한 값이 된다. 따라서 $\displaystyle E(D_A)$는 다음과 같이 계산된다. (각각을 이항분포의 평균 개념을 이용하여 유도할 수도 있다.)$\displaystyle \begin{aligned}E(D_A)&=(n_A-1)P_A+n_BP_{AB}+n_CP_{AC}\\&=(n_A-1)P_A+2n_AP_{AB}+4n_AP_{AC}\\&=n_A\{P_A+2P_{AB}+4P_{AC}\}-P_A\\&=n_A\{0.5+(2\times0.17)+(4\times0.12)\}-0.5=1.32n_A-0.5\end{aligned}$

● 유사하게 그룹 B에 속한 어떤 사람에 대한 경우, 친구 수인 $\displaystyle D_B$의 기댓값 $\displaystyle E(D_B)$는 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \begin{aligned}E(D_B)&=n_AP_{AB}+(n_B-1)P_B+n_CP_{BC}\\&=n_AP_{AB}+(2n_A-1)P_B+4n_AP_{BC}\\&=n_A\{P_{AB}+2P_B+4P_{BC}\}-P_B\\&=n_A\{0.17+(2\times0.3)+(4\times0.13)\}-0.3=1.29n_A-0.3\end{aligned}$

● 그룹 A에 속한 사람의 전체 친구 수의 기댓값이 그룹 B에 속한 사람의 전체 친구 수의 기댓값보다 더 크다는 것은 $\displaystyle E(D_A)>E(D_B)$이기 때문에, 이를 만족하는 전체 인원 $\displaystyle N$의 조건은 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}E(D_A)>E(D_B)&\iff1.32n_A-0.5>1.29n_A-0.3\\&\iff0.03n_A>0.2\\&\iff n_A>6.67\end{aligned}$

● $\displaystyle n_A$의 최솟값은 7(명)이고, 따라서 전체 인원 $\displaystyle N\,(=7n_A)$의 최솟값은 49(명)이다.