자연계열 1번

● 보물을 갖고 있는 사람이 특수그룹으로 분류될 확률 $\displaystyle P(G\mid B)$:확률변수 $\displaystyle X$가 보물을 갖고 있는 사람이 검색대를 통과했을 때, 검색대로부터 측정한 값이라고 할 때, $\displaystyle P(G\mid B)$는 해당 확률변수의 확률밀도함수인 $\displaystyle g(x)$의 그래프로부터 $\displaystyle P(2\le X\le4)$로 계산될 수 있다. 이 확률은 아래 그래프에서 하늘색 사다리꼴의 넓이가 되기 때문에, $\displaystyle 1-1\times\frac29\times\frac12=\frac89$로 계산된다. 이는 $\displaystyle g(x)=\frac29x-\frac29$, $\displaystyle 1\le x\le4$이고, $\displaystyle g(2)=\frac29$로부터 계산할 수 있다.

● 보물을 갖고 있지 않은 사람이 특수그룹으로 분류될 확률 $\displaystyle P(G\mid B^C)$:확률변수 $\displaystyle Y$가 보물을 갖고 있지 않은 사람이 검색대를 통과했을 때, 검색대가 측정한 값이라고 할 때, $\displaystyle P(G\mid B^C)$는 해당 확률변수의 확률밀도함수인 $\displaystyle f(x)$의 그래프로부터 $\displaystyle P(2\le Y\le4)$로 계산될 수 있다. 이 확률은 아래 그래프에서 회색 삼각형의 넓이가 되기 때문에, $\displaystyle 1\times\frac29\times\frac12=\frac19$로 계산된다.

● 임의의 사람이 특수그룹에 속하게 될 확률인 $\displaystyle P(G)$는 $\displaystyle P(G)=P(G\cap B)+P(G\cap B^C)=P(G\mid B)P(B)+P(G\mid B^C)P(B^C)$로 구할 수 있고, 이는 $\displaystyle \frac89\times\frac19+\frac19\times\frac89=\frac{16}{81}$이 된다.

● 따라서 특수그룹에 속한 사람이 실제로 보물을 갖고 있을 확률은 다음과 같다.