자연계열 3번

두 직선 $\displaystyle x+2y+1=0$, $\displaystyle 2x+y-2=0$으로부터 같은 거리에 있는 점 P$\displaystyle (x,y)$가 나타내는 도형은 이 두 직선의 각의 이등분선이다.

한편, 두 직선 $\displaystyle x+2y+1=0$, $\displaystyle 2x+y-2=0$은 좌표평면을 네 개의 영역으로 분할하고, 점 $\displaystyle (-2,3)$은 두 부등식 $\displaystyle x+2y+1>0$, $\displaystyle 2x+y-2<0$을 동시에 만족하는 영역에 속한다. 직선 $\displaystyle 3x+3y-1=0$ 위의 한 점 $\displaystyle \left(\frac13,0\right)$이 이 두 부등식을 만족하므로 두 원의 중심은 모두 직선 $\displaystyle 3x+3y-1=0$ 위에 있다.

점 $\displaystyle (-2,3)$와 직선 $\displaystyle 3x+3y-1=0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|-6+9-1|}{\sqrt{3^2+3^2}}=\frac{\sqrt2}3$이고 두 원의 공통현의 길이의 반이다. 따라서 공통현의 길이는 $\displaystyle \frac{2\sqrt2}3$이다.

$\displaystyle x^2+(y-t)^2=2$이 직선 $\displaystyle \frac xa+\frac yb-1=0$에 접하므로 $\displaystyle \sqrt2=\frac{\left|\frac tb-1\right|}{\sqrt{\frac1{a^2}+\frac1{b^2}}}$에서 $\displaystyle a=\frac{\sqrt2b}{\sqrt{(b-t)^2-2}}$를 얻는다.

삼각형의 넓이는 $\displaystyle ab=\frac{\sqrt2b^2}{\sqrt{(b-t)^2-2}}$으로 $\displaystyle b$에 대한 함수 $\displaystyle f(b)$로 표현할 수 있다. $\displaystyle f^{\prime}(b)=\frac{\sqrt2b(b^2-3tb+2t^2-4)}{\sqrt{((b-t)^2-2)^3}}$이고 $\displaystyle b>t+\sqrt2>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(b)=0$을 풀면 $\displaystyle b=\frac{3t+\sqrt{t^2+16}}2$이다. 삼각형의 넓이를 최소로 하는 $\displaystyle a,b$의 값을 각각 $\displaystyle a(t)$, $\displaystyle b(t)$라 하면, $\displaystyle A(t)=a(t)b(t)$이고,

$\displaystyle f(b)$의 증가와 감소를 조사하여 $\displaystyle b(t)=\frac{3t+\sqrt{t^2+16}}2$임을 알 수 있다. $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{b(t)}t=\frac{3t+\sqrt{t^2+16}}{2t}=2$이므로