경영경제계열 3번

상금의 단위를 만 원으로 하고, 첫 번째 시행만 할 때의 상금을 $\displaystyle X$라 하면첫 번째 공에 적힌 수가 $\displaystyle a$일 때 $\displaystyle X=a^2$이므로$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{E}(X)&=\frac14(1^2+2^2+3^2+4^2)\\&=\frac{15}{2}. \end{aligned}$

두 번째 공에 적힌 수를 $\displaystyle b$, 두 번째 시행에 따른 상금의 변화량을 $\displaystyle D$라 하면$\displaystyle D=\begin{cases} b^2 & (b\le a),\\ -a^2 & (b>a). \end{cases}$$\displaystyle b>a$인 경우에는 첫 번째 시행에서 적립된 상금도 받지 못하므로상금의 변화량은 $\displaystyle 0$이 아니라 $\displaystyle -a^2$이다.

두 번째 시행에서는 $\displaystyle a$가 적힌 공이 두 개, 나머지 수가 적힌 공이 각각 한 개씩 있으므로$\displaystyle b=a$일 확률은 $\displaystyle \frac25$, 나머지 각 수가 나올 확률은 $\displaystyle \frac15$이다.첫 번째 결과가 $\displaystyle a$일 때 상금 변화량의 기댓값을 $\displaystyle d_a$라 하면 다음과 같다.

첫 번째 결과 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 4$가 나올 확률은 각각 $\displaystyle \frac14$이므로$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{E}(D)&=\frac14(d_1+d_2+d_3+d_4)\\&=\frac14\left(-\frac15+\frac15+\frac{14}{5}+\frac{46}{5}\right)\\&=3. \end{aligned}$

두 번째 시행까지 할 때의 최종 상금은 $\displaystyle X+D$이므로$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{E}(X+D)&=\mathrm{E}(X)+\mathrm{E}(D)\\&=\frac{15}{2}+3=\frac{21}{2}. \end{aligned}$따라서 첫 번째 시행만 하는 경우의 기댓값은 7.5만 원,두 번째 시행까지 하는 경우의 기댓값은 10.5만 원이다.