자연계열 3번

$\displaystyle (b,f(b))$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-\ln b(\ln b-1)=\frac1b(2\ln b-1)(x-b)$이고 $\displaystyle \mathrm{A}(0,1)$을 지나므로 대입하여 정리하면 $\displaystyle (\ln b)^2-3\ln b=0$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha=1$, $\displaystyle \beta=e^3$이다.

$\displaystyle (x\ln x-x)^{\prime}=\ln x$를 이용하여 부분적분을 하면$\displaystyle \int_1^{e^3}\ln x(\ln x-1)dx=\Biggl[(x\ln x-x)(\ln x-1)\Biggr]_1^{e^3}-\int_1^{e^3}(\ln x-1)dx=3e^3-3$이 된다.

원점을 O라 하고, 점 P에서 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$에 그은 한 접선의 접점을 B라 하자. 또한 세 점이 이루는 각 $\displaystyle \angle\mathrm{POB}$를 $\displaystyle \theta$라 하자. 이때, 원점과 점 $\displaystyle \mathrm{P}(t,\sqrt6(t-2)^2)$ 사이의 거리가 $\displaystyle L=\sqrt{t^2+6(t-2)^4}$이므로 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$과 두 접선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 다음과 같이 표현할 수 있다.$\displaystyle S(t)=\sqrt{L^2-1}-\theta(t),\ \tan\theta(t)=\sqrt{L^2-1}$

$\displaystyle S(t)$를 미분하면$\displaystyle S^{\prime}(t)=\frac{LL^{\prime}}{\sqrt{L^2-1}}-\theta^{\prime},\ (\sec^2\theta)\theta^{\prime}=\frac{LL^{\prime}}{\sqrt{L^2-1}}$이므로 정리하여 $\displaystyle S^{\prime}(t)=\frac{\sqrt{L^2-1}}L L^{\prime}$를 얻을 수 있다.

$\displaystyle L>1$이므로 $\displaystyle S^{\prime}(d)=0$이 되는 $\displaystyle d$를 찾는 것은 $\displaystyle L^{\prime}(d)=0$을 만족하는 $\displaystyle d$를 찾는 것이 된다. $\displaystyle 2LL^{\prime}=2t+24(t-2)^3$이고 $\displaystyle t+12(t-2)^3=0$의 근은 $\displaystyle t=\frac32$이다. 따라서 $\displaystyle d=\frac32$이다.